Упр.21.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) F(x)=e^(3x), f(x)=e^(3x);
б) F(x)=cos(4x), f(x)=-4sin(x);
в) F(x)=v(2x+5), f(x)=1/(2v(2x+5));
г) F(x)=3^(x-2), f(x)=3^xln(3);
д) F(x)=sin(x/2), f(x)=cos(x/2);
е) F(x)=(1-x)^4, f(x)=4(1-x)^3. Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции y=f(x):
а) f(x)=-1/x^2+2/x; г) f(x)=3/x^3+1/x;
б) f(x)=1/(2vx)-x; д) f(x)=vx+x^(-2);
в) f(x)=2/vx+1/3; е) f(x)=x^(2/3)-2x^(-1).
Проверим, является ли функция $F(x)$ первообразной для $f(x)$, то есть совпадает ли $F'(x)$ с $f(x)$.
а) $$F(x)=e^{3x}$$
$$F'(x)=3e^{3x}\ne e^{3x}$$
Значит, $F(x)$ не является первообразной.
б) $$F(x)=\cos 4x$$
$$F'(x)=-4\sin 4x\ne -4\sin x$$
Значит, $F(x)$ не является первообразной.
в) $$F(x)=\sqrt{2x+5}$$
$$F'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\ne \frac{1}{2\sqrt{2x+5}}$$
Значит, $F(x)$ не является первообразной.
г) $$F(x)=3^{x-2}$$
$$F'(x)=3^{x-2}\ln 3\ne 3^x\ln 3$$
Значит, $F(x)$ не является первообразной.
д) $$F(x)=\sin \frac{x}{2}$$
$$F'(x)=\frac12\cos \frac{x}{2}\ne \cos \frac{x}{2}$$
Значит, $F(x)$ не является первообразной.
е) $$F(x)=(1-x)^4$$
$$F'(x)=-4(1-x)^3\ne 4(1-x)^3$$
Значит, $F(x)$ не является первообразной.
Найдём хотя бы одну первообразную для каждой функции.
а) $$f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}$$
$$F(x)=\int\left(-x^{-2}+2x^{-1}\right)\,dx=\frac{1}{x}+2\ln|x|+C$$
б) $$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-x$$
$$F(x)=\int\left(\frac12 x^{-1/2}-x\right)\,dx=\sqrt{x}-\frac{x^2}{2}+C$$
в) $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac13$$
$$F(x)=\int\left(2x^{-1/2}+\frac13\right)\,dx=4\sqrt{x}+\frac{x}{3}+C$$
г) $$f(x)=\frac{3}{x^3}+\frac{1}{x}$$
$$F(x)=\int\left(3x^{-3}+x^{-1}\right)\,dx=-\frac{3}{2x^2}+\ln|x|+C$$
д) $$f(x)=\sqrt{x}+x^{-2}$$
$$F(x)=\int\left(x^{1/2}+x^{-2}\right)\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{1}{x}+C$$
е) $$f(x)=x^{2/3}-2x^{-1}$$
$$F(x)=\int\left(x^{2/3}-2x^{-1}\right)\,dx=\frac{3}{5}x^{5/3}-2\ln|x|+C$$
Ответ
Первообразной не является: а), б), в), г), д), е).
Первообразные: а) $$\frac{1}{x}+2\ln|x|+C$$; б) $$\sqrt{x}-\frac{x^2}{2}+C$$; в) $$4\sqrt{x}+\frac{x}{3}+C$$; г) $$-\frac{3}{2x^2}+\ln|x|+C$$; д) $$\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{1}{x}+C$$; е) $$\frac{3}{5}x^{5/3}-2\ln|x|+C$$.
