Упр.21.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Установите, что функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$:
а) $$F(x)=e^{2x},\quad f(x)=2e^{2x}$$;
б) $$F(x)=3\ln(x),\quad f(x)=\frac{3}{x}$$;
в) $$F(x)=2^{x+1},\quad f(x)=2^{x+1}\ln(2)$$;
г) $$F(x)=\frac{1}{6}e^{6x},\quad f(x)=e^{6x}$$;
д) $$F(x)=\ln(5x),\quad f(x)=\frac{1}{x}$$;
е) $$F(x)=\frac{5^{2x-1}}{\ln(5)},\quad f(x)=2\cdot5^{2x-1}$$. - Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=x^{-3}+x^{\frac{2}{3}}$$;
б) $$f(x)=x^{-2}-x^{\frac{1}{4}}$$;
в) $$f(x)=x^{-\frac{1}{3}}+2x^{-\frac{1}{2}}$$;
г) $$f(x)=4x^{-5}-3x^{-4}$$;
д) $$f(x)=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-0,5x^{-0,5}$$;
е) $$f(x)=2,5x^{-1,5}+\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$$.
Проверим, что в каждом пункте производная функции $$F(x)$$ совпадает с функцией $$f(x)$$.
а) $$F(x)=e^{2x}$$
$$F'(x)=2e^{2x}=f(x).$$
б) $$F(x)=3\ln x$$
$$F'(x)=3\cdot \frac{1}{x}=\frac{3}{x}=f(x).$$
в) $$F(x)=2^{x+1}$$
$$F'(x)=2^{x+1}\ln 2=f(x).$$
г) $$F(x)=\frac{1}{6}e^{6x}$$
$$F'(x)=\frac{1}{6}\cdot 6e^{6x}=e^{6x}=f(x).$$
д) $$F(x)=\ln(5x)$$
$$F'(x)=\frac{5}{5x}=\frac{1}{x}=f(x).$$
е) $$F(x)=\frac{5^{2x-1}}{\ln 5}$$
$$F'(x)=\frac{5^{2x-1}\cdot 2\ln 5}{\ln 5}=2\cdot 5^{2x-1}=f(x).$$
Теперь найдём хотя бы одну первообразную для каждой функции, используя правило
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1.$$
а) $$f(x)=x^{-3}+x^{2/3}$$
$$F(x)=\int \left(x^{-3}+x^{2/3}\right)dx=-\frac{1}{2}x^{-2}+\frac{3}{5}x^{5/3}+C.$$
б) $$f(x)=x^{-2}-x^{1/4}$$
$$F(x)=\int \left(x^{-2}-x^{1/4}\right)dx=-x^{-1}-\frac{4}{5}x^{5/4}+C.$$
в) $$f(x)=x^{-1/3}+2x^{-1/2}$$
$$F(x)=\int \left(x^{-1/3}+2x^{-1/2}\right)dx=\frac{3}{2}x^{2/3}+4x^{1/2}+C.$$
г) $$f(x)=4x^{-5}-3x^{-4}$$
$$F(x)=\int \left(4x^{-5}-3x^{-4}\right)dx=-x^{-4}+x^{-3}+C.$$
д) $$f(x)=\frac{5}{3}x^{2/3}-0{,}5x^{-0{,}5}$$
$$F(x)=\int \left(\frac{5}{3}x^{2/3}-0{,}5x^{-0{,}5}\right)dx=x^{5/3}-x^{1/2}+C.$$
е) $$f(x)=2{,}5x^{-1{,}5}+\frac{4}{3}x^{1/3}$$
$$F(x)=\int \left(2{,}5x^{-1{,}5}+\frac{4}{3}x^{1/3}\right)dx=-5x^{-1/2}+x^{4/3}+C.$$
Ответ
1) Во всех пунктах $$F'(x)=f(x)$$.
2) $$F(x)=-\frac{1}{2}x^{-2}+\frac{3}{5}x^{5/3}+C;$$
$$F(x)=-x^{-1}-\frac{4}{5}x^{5/4}+C;$$
$$F(x)=\frac{3}{2}x^{2/3}+4x^{1/2}+C;$$
$$F(x)=-x^{-4}+x^{-3}+C;$$
$$F(x)=x^{5/3}-x^{1/2}+C;$$
$$F(x)=-5x^{-1/2}+x^{4/3}+C.$$
