Упр.21.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Установите, что функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$:
а) $$F(x)=2+\cos(x),\ f(x)=-\sin(x)$$;
б) $$F(x)=0{,}5\operatorname{ctg}(x),\ f(x)=-\frac{1}{2\sin^2(x)}$$;
в) $$F(x)=\sin(2x),\ f(x)=2\cos(2x)$$;
г) $$F(x)=1-\sin(x),\ f(x)=-\cos(x)$$;
д) $$F(x)=3\operatorname{tg}(x),\ f(x)=\frac{3}{\cos^2(x)}$$;
е) $$F(x)=3\cos\left(\frac{x}{3}\right),\ f(x)=-\sin\left(\frac{x}{3}\right)$$. - Задание учебника 2022 года. Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=x^3-3x^2+2$$;
г) $$f(x)=5x^9+4x$$;
б) $$f(x)=4x^3+5x^4$$;
д) $$f(x)=-9x^2+6x^5-x$$;
в) $$f(x)=x^5-8x^7$$;
е) $$f(x)=15x^4-15x^2+1$$.
- Проверим, что производная функции $$F(x)$$ совпадает с $$f(x)$$:
а) $$F(x)=2+\cos x$$
$$F'(x)=0-\sin x=-\sin x=f(x)$$б) $$F(x)=0{,}5\ctg x$$
$$F'(x)=0{,}5\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{1}{2\sin^2 x}=f(x)$$в) $$F(x)=\sin 2x$$
$$F'(x)=2\cos 2x=f(x)$$г) $$F(x)=1-\sin x$$
$$F'(x)=-\cos x=f(x)$$д) $$F(x)=3\tg x$$
$$F'(x)=3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{3}{\cos^2 x}=f(x)$$е) $$F(x)=3\cos \frac{x}{3}$$
$$F'(x)=3\left(-\frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}\right)=-\sin \frac{x}{3}=f(x)$$ - Найдём хотя бы одну первообразную для каждой функции:
а) $$f(x)=x^3-3x^2+2$$
$$F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x+C$$б) $$f(x)=4x^3+5x^4$$
$$F(x)=x^4+x^5+C$$в) $$f(x)=x^5-8x^7$$
$$F(x)=\frac{x^6}{6}-x^8+C$$г) $$f(x)=5x^9+4x$$
$$F(x)=\frac{x^{10}}{2}+2x^2+C$$д) $$f(x)=-9x^2+6x^5-x$$
$$F(x)=-3x^3+x^6-\frac{x^2}{2}+C$$е) $$f(x)=15x^4-15x^2+1$$
$$F(x)=3x^5-5x^3+x+C$$
Ответ
Первообразные: а) $$\frac{x^4}{4}-x^3+2x+C$$; б) $$x^4+x^5+C$$; в) $$\frac{x^6}{6}-x^8+C$$; г) $$\frac{x^{10}}{2}+2x^2+C$$; д) $$-3x^3+x^6-\frac{x^2}{2}+C$$; е) $$3x^5-5x^3+x+C$$.
