Упр.21.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение и найдите его корни на указанном промежутке: а) $$14^{\sin(x)}=7^{\cos(x)}\cdot 2^{\sin(x)}$$, $$[-2,5?; -1,5?]$$; б) $$15^{\cos(x)}=3^{\cos(x)}\cdot 5^{-\sin(x)}$$, $$[-?; 2?]$$.

а) $$14^{\sin x}=7^{\cos x}\cdot 2^{\sin x}$$

Представим $$14$$ как $$2\cdot 7$$:

$$(2\cdot 7)^{\sin x}=7^{\cos x}\cdot 2^{\sin x}$$
$$2^{\sin x}\cdot 7^{\sin x}=7^{\cos x}\cdot 2^{\sin x}$$
$$7^{\sin x}=7^{\cos x}$$
$$\sin x=\cos x$$
$$\tan x=1$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

На промежутке $$\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\right]$$ подходит только

$$x=\frac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}$$

б) $$15^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}$$

Представим $$15$$ как $$3\cdot 5$$:

$$(3\cdot 5)^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}$$
$$3^{\cos x}\cdot 5^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{-\sin x}$$
$$5^{\cos x}=5^{-\sin x}$$
$$\cos x=-\sin x$$
$$\tan x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

На промежутке $$\left[-\pi;2\pi\right]$$ получаем:

$$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$

Ответ

а) $$-\frac{7\pi}{4}$$;

б) $$-\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$.