Упр.21.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Установите, что функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$:
а) $$F(x)=2+3x^2,\quad f(x)=6x$$;
б) $$F(x)=x^3-x^4,\quad f(x)=3x^2-4x^3$$;
в) $$F(x)=2\sqrt{x}-3x,\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-3$$;
г) $$F(x)=5x-2x^4,\quad f(x)=5-8x^3$$;
д) $$F(x)=x^5+x^2,\quad f(x)=5x^4+2x$$;
е) $$F(x)=x^{\frac{1}{3}}+x,\quad f(x)=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}+1$$. - Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции $$y=f(x)$$:
а) $$f(x)=x^2+2x$$;
г) $$f(x)=3x^2-1$$;
б) $$f(x)=8x-x^2$$;
д) $$f(x)=3x^2+2x-1$$;
в) $$f(x)=-2x^2-4$$;
е) $$f(x)=-x^2-6x+3$$.
- Проверим, что производная функции $$F(x)$$ равна $$f(x)$$.
а) $$F(x)=2+3x^2$$
$$F'(x)=0+6x=6x=f(x)$$
б) $$F(x)=x^3-x^4$$
$$F'(x)=3x^2-4x^3=f(x)$$
в) $$F(x)=2\sqrt{x}-3x$$
$$F'(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}}-3=\frac{1}{\sqrt{x}}-3=f(x)$$
г) $$F(x)=5x-2x^4$$
$$F'(x)=5-8x^3=f(x)$$
д) $$F(x)=x^5+x^2$$
$$F'(x)=5x^4+2x=f(x)$$
е) $$F(x)=\sqrt[3]{x}+x$$
$$F'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}+1=f(x)$$
- Найдём одну первообразную для каждой функции, интегрируя по частям:
а) $$f(x)=x^2+2x$$
$$F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2+C$$
б) $$f(x)=8x-x^2$$
$$F(x)=4x^2-\frac{x^3}{3}+C$$
в) $$f(x)=-2x^2-4$$
$$F(x)=-\frac{2x^3}{3}-4x+C$$
г) $$f(x)=3x^2-1$$
$$F(x)=x^3-x+C$$
д) $$f(x)=3x^2+2x-1$$
$$F(x)=x^3+x^2-x+C$$
е) $$f(x)=-x^2-6x+3$$
$$F(x)=-\frac{x^3}{3}-3x^2+3x+C$$
Ответ
1) Во всех пунктах а)–е) функция $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.
2) $$F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2+C,\quad 4x^2-\frac{x^3}{3}+C,\quad -\frac{2x^3}{3}-4x+C,\quad x^3-x+C,\quad x^3+x^2-x+C,\quad -\frac{x^3}{3}-3x^2+3x+C.$$
