Упр.21.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) F(x)=2+3x^2, f(x)=6x;
б) F(x)=x^3-x^4, f(x)=3x^2-4x^3;
в) F(x)=2vx-3x, f(x)=1/vx-3;
г) F(x)=5x-2x^4, f(x)=5-8x^3;
д) F(x)=x^5+x^2, f(x)=5x^4+2x;
е) F(x)=x^(1/3)+x, f(x)=1/(3x^(2/3))+1.
Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции y=f(x):
а) f(x)=x^2+2x; г) f(x)=3x^2-1;
б) f(x)=8x-x^2; д) f(x)=3x^2+2x-1;
в) f(x)=-2x^2-4; е) f(x)=-x^2-6x+3.
- Проверим, что производная функции $F(x)$ равна $f(x)$.
а) $$F(x)=2+3x^2$$
$$F'(x)=0+6x=6x=f(x)$$
б) $$F(x)=x^3-x^4$$
$$F'(x)=3x^2-4x^3=f(x)$$
в) $$F(x)=2\sqrt{x}-3x$$
$$F'(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}}-3=\frac{1}{\sqrt{x}}-3=f(x)$$
г) $$F(x)=5x-2x^4$$
$$F'(x)=5-8x^3=f(x)$$
д) $$F(x)=x^5+x^2$$
$$F'(x)=5x^4+2x=f(x)$$
е) $$F(x)=\sqrt[3]{x}+x$$
$$F'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}+1=f(x)$$
- Найдём одну первообразную для каждой функции, интегрируя по частям:
а) $$f(x)=x^2+2x$$
$$F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2+C$$
б) $$f(x)=8x-x^2$$
$$F(x)=4x^2-\frac{x^3}{3}+C$$
в) $$f(x)=-2x^2-4$$
$$F(x)=-\frac{2x^3}{3}-4x+C$$
г) $$f(x)=3x^2-1$$
$$F(x)=x^3-x+C$$
д) $$f(x)=3x^2+2x-1$$
$$F(x)=x^3+x^2-x+C$$
е) $$f(x)=-x^2-6x+3$$
$$F(x)=-\frac{x^3}{3}-3x^2+3x+C$$
Ответ
1) Во всех пунктах а)–е) функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
2) $$F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2+C,\quad 4x^2-\frac{x^3}{3}+C,\quad -\frac{2x^3}{3}-4x+C,\quad x^3-x+C,\quad x^3+x^2-x+C,\quad -\frac{x^3}{3}-3x^2+3x+C.$$
