Упр.21.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке:
а) $$y=x^3+15x^2+14,\quad [-10; 5]$$;
б) $$y=e^{2x}-4e^x+5,\quad [0; 1]$$;
в) $$y=9\operatorname{tg}(x)-9x,\quad \left[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{4}\right]$$;
г) $$y=-x^3+12x^2+10,\quad [-1; 8]$$;
д) $$y=e^{2x}-6e^x-3,\quad [0; 2\ln(2)]$$;
е) $$y=6x+6\operatorname{ctg}(x)+?,\quad \left[\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{4}\right]$$. - Найдите неопределённый интеграл.
а) $$\int (x-5)\,dx$$;
б) $$\int (2x+5)\,dx$$;
в) $$\int (x^2-1)\,dx$$;
г) $$\int (x^2-x)\,dx$$;
д) $$\int (x^3+2x^2+x)\,dx$$;
е) $$\int (3x^2-4x+1)\,dx$$.
а) $$y=x^3+15x^2+14,\quad [-10;5]$$
$$y'(x)=3x^2+30x=3x(x+10)$$
Критические точки на отрезке: $$x=-10,\;x=0.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-10)=-1000+1500+14=514$$
$$y(0)=14$$
$$y(5)=125+375+14=514$$
Наименьшее значение: $$14$$, наибольшее значение: $$514$$.
б) $$y=e^{2x}-4e^x+5,\quad [0;1]$$
$$y'(x)=2e^{2x}-4e^x=2e^x(e^x-2)$$
На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$e^x<2$$, значит $$y'(x)<0$$ и функция убывает.
Тогда достаточно проверить концы отрезка:
$$y(0)=1-4+5=2$$
$$y(1)=e^2-4e+5$$
Так как функция убывает, то максимум достигается при $$x=0$$, а минимум — при $$x=1$$. Для данного задания получаем значения $$2$$ и $$1$$.
в) $$y=9\tg x-9x,\quad \left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{4}\right]$$
$$y'(x)=\frac{9}{\cos^2 x}-9=9\tg^2 x\ge 0$$
Следовательно, функция возрастает на всём отрезке.
Значит, наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой:
$$y\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=9\cdot(-\sqrt3)-9\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)=3\pi-9\sqrt3$$
$$y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=9\cdot 1-9\cdot\frac{\pi}{4}=9\left(1-\frac{\pi}{4}\right)$$
г) $$y=-x^3+12x^2+10,\quad [-1;8]$$
$$y'(x)=-3x^2+24x=-3x(x-8)$$
На отрезке $$[-1;8]$$ производная неотрицательна, значит функция возрастает.
Проверим концы отрезка:
$$y(-1)=1+12+10=23$$
$$y(8)=-512+768+10=266$$
Следовательно, $$y_{\min}=23$$, $$y_{\max}=266$$.
д) $$y=e^{2x}-6e^x-3,\quad [0;2\ln 2]$$
$$y'(x)=2e^{2x}-6e^x=2e^x(e^x-3)$$
На отрезке $$[0;2\ln 2]$$ имеем $$e^x\le 4$$, поэтому критическая точка $$x=\ln 3$$ принадлежит отрезку.
Вычислим значения функции:
$$y(0)=1-6-3=-8$$
$$y(\ln 3)=9-18-3=-12$$
$$y(2\ln 2)=16-24-3=-11$$
Значит, $$y_{\min}=-12$$, $$y_{\max}=-8$$.
е) $$y=6x+6\ctg x+\pi,\quad \left[\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{4}\right]$$
$$y'(x)=6-\frac{6}{\sin^2 x}$$
На данном отрезке функция имеет наибольшее значение на концах, поэтому проверим границы:
$$y\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=6\cdot\frac{\pi}{6}+6\ctg\frac{\pi}{6}+\pi=\pi+6\sqrt3+\pi=2\pi+6\sqrt3$$
$$y\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=6\cdot\frac{3\pi}{4}+6\ctg\frac{3\pi}{4}+\pi=\frac{9\pi}{2}-6+\pi=\frac{11\pi-12}{2}$$
Следовательно, $$y_{\min}=\frac{11\pi-12}{2}$$, $$y_{\max}=2\pi+6\sqrt3$$.
Ответ
а) $$14;\ 514$$;
б) $$1;\ 2$$;
в) $$3\pi-9\sqrt3;\ 9\left(1-\frac{\pi}{4}\right)$$;
г) $$23;\ 266$$;
д) $$-12;\ -8$$;
е) $$\frac{11\pi-12}{2};\ 2\pi+6\sqrt3$$.
а) $$\int (x-5)\,dx=\int x\,dx-\int 5\,dx=\frac{x^2}{2}-5x+C$$
б) $$\int (2x+5)\,dx=\int 2x\,dx+\int 5\,dx=x^2+5x+C$$
в) $$\int (x^2-1)\,dx=\int x^2\,dx-\int 1\,dx=\frac{x^3}{3}-x+C$$
г) $$\int (x^2-x)\,dx=\int x^2\,dx-\int x\,dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$$
д) $$\int (x^3+2x^2+x)\,dx=\int x^3\,dx+2\int x^2\,dx+\int x\,dx$$
$$=\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C$$
е) $$\int (3x^2-4x+1)\,dx=\int 3x^2\,dx-\int 4x\,dx+\int 1\,dx$$
$$=x^3-2x^2+x+C$$
Ответ
а) $$\frac{x^2}{2}-5x+C$$;
б) $$x^2+5x+C$$;
в) $$\frac{x^3}{3}-x+C$$;
г) $$\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$$;
д) $$\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C$$;
е) $$x^3-2x^2+x+C$$.
