Упр.21.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=3e^(3x)+1; г) y=0,25e^(0,5x)-2;
б) y=e^(2-x)+1/(2x) (x>0); д) y=e^(1-2x)-3/x (x>0);
в) y=2^(4x+3)-1/x (x>0); е) y=3^(5x-2)+1/(5x) (x>0).

Найдём производную функции:

$$y=x^3-3px^2+48x-4,$$

$$y'(x)=3x^2-6px+48.$$

Стационарные точки существуют при решении уравнения

$$3x^2-6px+48=0.$$

Чтобы функция имела ровно одну стационарную точку, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(-6p)^2-4\cdot 3\cdot 48=36p^2-576=36(p^2-16).$$

$$36(p^2-16)=0,$$

$$p^2=16,$$

$$p=\pm 4.$$

Найдём первообразные.

а) $$y=3e^{3x}+1$$

$$F(x)=\int (3e^{3x}+1)\,dx=e^{3x}+x+C.$$

б) $$y=e^{2-x}+\frac{1}{2x}, \quad x>0$$

$$F(x)=\int \left(e^{2-x}+\frac{1}{2x}\right)dx=-e^{2-x}+\frac12\ln x+C.$$

в) $$y=2^{4x+3}-\frac{1}{x}, \quad x>0$$

$$F(x)=\int \left(2^{4x+3}-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{2^{4x+3}}{4\ln 2}-\ln x+C.$$

г) $$y=0{,}25e^{0{,}5x}-2$$

$$F(x)=\int \left(0{,}25e^{0{,}5x}-2\right)dx=0{,}5e^{0{,}5x}-2x+C.$$

д) $$y=e^{1-2x}-\frac{3}{x}, \quad x>0$$

$$F(x)=\int \left(e^{1-2x}-\frac{3}{x}\right)dx=-\frac12 e^{1-2x}-3\ln x+C.$$

е) $$y=3^{5x-2}+\frac{1}{5x}, \quad x>0$$

$$F(x)=\int \left(3^{5x-2}+\frac{1}{5x}\right)dx=\frac{3^{5x-2}}{5\ln 3}+\frac15\ln x+C.$$

Ответ

$$p=-4,\;4.$$

а) $$F(x)=e^{3x}+x+C;$$
б) $$F(x)=-e^{2-x}+\frac12\ln x+C;$$
в) $$F(x)=\frac{2^{4x+3}}{4\ln 2}-\ln x+C;$$
г) $$F(x)=0{,}5e^{0{,}5x}-2x+C;$$
д) $$F(x)=-\frac12 e^{1-2x}-3\ln x+C;$$
е) $$F(x)=\frac{3^{5x-2}}{5\ln 3}+\frac15\ln x+C.$$