Упр.21.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите точку минимума функции y=e^(5x-35)(x+7). Найдите множество всех первообразных заданной функции:
а) y=1/(2x+3)^2; г) y=4/(4x-3)^3;
б) y=3/(2v(3x-7)); д) y=-5/(5x+2)^(1/3);
в) y=(1-6x)^(-1/6); е) y=(5-6x)^(3/4).

1. а) $$y=e^{16-4x}(x-3).$$

   Найдём производную:

   $$ y’ = e^{16-4x}(-4)(x-3)+e^{16-4x} = e^{16-4x}(13-4x). $$

   Так как $$e^{16-4x}>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется выражением $$13-4x.$$

   $$ y’=0 \iff 13-4x=0 \iff x=\frac{13}{4}. $$

   При $$x<\frac{13}{4}$$ имеем $$y’>0,$$ а при $$x>\frac{13}{4}$$ — $$y'<0.$$ Значит, в точке $$x=\frac{13}{4}$$ функция достигает максимума.

2. б) $$y=e^{5x-35}(x+7).$$

   Найдём производную:

   $$ y’ = 5e^{5x-35}(x+7)+e^{5x-35} = e^{5x-35}(5x+36). $$

   Так как $$e^{5x-35}>0,$$ знак производной определяется выражением $$5x+36.$$

   $$ y’=0 \iff 5x+36=0 \iff x=-\frac{36}{5}. $$

   При $$x<-\frac{36}{5}$$ имеем $$y'<0,$$ а при $$x>-\frac{36}{5}$$ — $$y’>0.$$ Значит, в точке $$x=-\frac{36}{5}$$ функция достигает минимума.

3. Найдём первообразные.

   а) $$y=\frac{1}{(2x+3)^2}=(2x+3)^{-2}.$$

   $$ F(x)=\int (2x+3)^{-2}\,dx =-\frac{1}{2(2x+3)}+C. $$

4. б) $$y=\frac{3}{2\sqrt{3x-7}}=\frac{3}{2}(3x-7)^{-1/2}.$$

   $$ F(x)=\int \frac{3}{2}(3x-7)^{-1/2}\,dx =\sqrt{3x-7}+C. $$

5. в) $$y=(1-6x)^{-1/6}.$$

   $$ F(x)=\int (1-6x)^{-1/6}\,dx =-\frac{1}{5}(1-6x)^{5/6}+C. $$

6. г) $$y=\frac{4}{(4x-3)^3}=4(4x-3)^{-3}.$$

   $$ F(x)=\int 4(4x-3)^{-3}\,dx =-\frac{1}{2(4x-3)^2}+C. $$

7. д) $$y=-\frac{5}{\sqrt[3]{5x+2}}=-5(5x+2)^{-1/3}.$$

   $$ F(x)=\int -5(5x+2)^{-1/3}\,dx =-\frac{15}{2}(5x+2)^{2/3}+C. $$

8. е) $$y=(5-6x)^{3/4}.$$

   $$ F(x)=\int (5-6x)^{3/4}\,dx =-\frac{2}{21}(5-6x)^{7/4}+C. $$

Ответ

а) $$x_{\max}=\frac{13}{4};$$
б) $$x_{\min}=-\frac{36}{5};$$
а) $$F(x)=-\frac{1}{2(2x+3)}+C;$$
б) $$F(x)=\sqrt{3x-7}+C;$$
в) $$F(x)=-\frac{1}{5}(1-6x)^{5/6}+C;$$
г) $$F(x)=-\frac{1}{2(4x-3)^2}+C;$$
д) $$F(x)=-\frac{15}{2}(5x+2)^{2/3}+C;$$
е) $$F(x)=-\frac{2}{21}(5-6x)^{7/4}+C.$$