Упр.21.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ?sin(x)dx; в) ?1/cos^2(x)dx; д) ?e^xdx;
б) ?cos(x)dx; г) ?1/sin^2(x)dx; е) ?10^xdx.
Найдите множество всех первообразных заданной функции:
а) y=sin(4x+1); г) y=cos(5x-3);
б) y=2cos(7-2x); д) y=-3sin(5-6x);
в) y=-5/sin^2(5x+2); е) y=1/(3cos^2(x/3-1)).

1. Используем основные формулы интегрирования:

   $$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,$$
   $$\int \cos x\,dx=\sin x+C,$$
   $$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x+C,$$
   $$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\ctg x+C,$$
   $$\int e^x\,dx=e^x+C,$$
   $$\int 10^x\,dx=\frac{10^x}{\ln 10}+C.$$

2. Найдём первообразные заданных функций, учитывая правило замены переменной:

   а) $$\int \sin(4x+1)\,dx=-\frac14\cos(4x+1)+C;$$
   б) $$\int 2\cos(7-2x)\,dx=-\sin(7-2x)+C;$$
   в) $$\int \frac{-5}{\sin^2(5x+2)}\,dx=\ctg(5x+2)+C;$$
   г) $$\int \cos(5x-3)\,dx=\frac15\sin(5x-3)+C;$$
   д) $$\int -3\sin(5-6x)\,dx=-\frac12\cos(5-6x)+C;$$
   е) $$\int \frac{1}{3\cos^2\!\left(\frac{x}{3}-1\right)}\,dx=\tg\!\left(\frac{x}{3}-1\right)+C.$$

Ответ

$$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,$$
$$\int \cos x\,dx=\sin x+C,$$
$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x+C,$$
$$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\ctg x+C,$$
$$\int e^x\,dx=e^x+C,$$
$$\int 10^x\,dx=\frac{10^x}{\ln 10}+C;$$
$$F(x)=-\frac14\cos(4x+1)+C,$$
$$F(x)=-\sin(7-2x)+C,$$
$$F(x)=\ctg(5x+2)+C,$$
$$F(x)=\frac15\sin(5x-3)+C,$$
$$F(x)=-\frac12\cos(5-6x)+C,$$
$$F(x)=\tg\!\left(\frac{x}{3}-1\right)+C.$$