Упр.21.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите неопределённый интеграл:
а) $$\int \sin(x)\,dx$$;
б) $$\int \cos(x)\,dx$$;
в) $$\int \frac{1}{\cos^2(x)}\,dx$$;
г) $$\int \frac{1}{\sin^2(x)}\,dx$$;
д) $$\int e^x\,dx$$;
е) $$\int 10^x\,dx$$. - Задание учебника 2022 года. Найдите множество всех первообразных заданной функции:
а) $$y=\sin(4x+1)$$;
б) $$y=2\cos(7-2x)$$;
в) $$y=\frac{-5}{\sin^2(5x+2)}$$;
г) $$y=\cos(5x-3)$$;
д) $$y=-3\sin(5-6x)$$;
е) $$y=\frac{1}{3\cos^2\left(\frac{x}{3}-1\right)}$$.
Используем основные формулы интегрирования:
$$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,$$
$$\int \cos x\,dx=\sin x+C,$$
$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x+C,$$
$$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\ctg x+C,$$
$$\int e^x\,dx=e^x+C,$$
$$\int 10^x\,dx=\frac{10^x}{\ln 10}+C.$$Найдём первообразные заданных функций, учитывая правило замены переменной:
а) $$\int \sin(4x+1)\,dx=-\frac14\cos(4x+1)+C;$$
б) $$\int 2\cos(7-2x)\,dx=-\sin(7-2x)+C;$$
в) $$\int \frac{-5}{\sin^2(5x+2)}\,dx=\ctg(5x+2)+C;$$
г) $$\int \cos(5x-3)\,dx=\frac15\sin(5x-3)+C;$$
д) $$\int -3\sin(5-6x)\,dx=-\frac12\cos(5-6x)+C;$$
е) $$\int \frac{1}{3\cos^2\!\left(\frac{x}{3}-1\right)}\,dx=\tg\!\left(\frac{x}{3}-1\right)+C.$$
Ответ
$$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,$$
$$\int \cos x\,dx=\sin x+C,$$
$$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x+C,$$
$$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\ctg x+C,$$
$$\int e^x\,dx=e^x+C,$$
$$\int 10^x\,dx=\frac{10^x}{\ln 10}+C;$$
$$F(x)=-\frac14\cos(4x+1)+C,$$
$$F(x)=-\sin(7-2x)+C,$$
$$F(x)=\ctg(5x+2)+C,$$
$$F(x)=\frac15\sin(5x-3)+C,$$
$$F(x)=-\frac12\cos(5-6x)+C,$$
$$F(x)=\tg\!\left(\frac{x}{3}-1\right)+C.$$
