Упр.21.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Найдите неопределенный интеграл:

а) $$\int 1\,dx$$; б) $$\int x\,dx$$; в) $$\int x^2\,dx$$; г) $$\int x^3\,dx$$; д) $$\int \frac{1}{x}\,dx$$; е) $$\int \sqrt{x}\,dx$$.

Найдите множество всех первообразных заданной функции:

а) $$y=(x-3)^3$$; б) $$y=(x+5)^4$$; в) $$y=(3x-2)^2$$; г) $$y=(7-2x)^3$$; д) $$y=(8-0{,}2x)^4$$; е) $$y=(0{,}25x+6)^7$$.

Используем формулу:

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\neq -1),$$

а также правило замены для выражений вида $$(ax+b)^n$$:

$$\int (ax+b)^n\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C.$$

1. Найдите неопределённый интеграл

1. $$\int 1\,dx=x+C$$
2. $$\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C$$
3. $$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C$$
4. $$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C$$
5. $$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$$
6. $$\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C$$

2. Найдите множество всех первообразных заданной функции

1. $$y=(x-3)^3$$
   
   $$F(x)=\int (x-3)^3\,dx=\frac{(x-3)^4}{4}+C$$
2. $$y=(x+5)^4$$
   
   $$F(x)=\int (x+5)^4\,dx=\frac{(x+5)^5}{5}+C$$
3. $$y=(3x-2)^2$$
   
   $$F(x)=\int (3x-2)^2\,dx=\frac{(3x-2)^3}{9}+C$$
4. $$y=(7-2x)^3$$
   
   $$F(x)=\int (7-2x)^3\,dx=-\frac{(7-2x)^4}{8}+C$$
5. $$y=(8-0{,}2x)^4$$
   
   $$F(x)=\int (8-0{,}2x)^4\,dx=\frac{(0{,}2x-8)^5}{5}+C$$
6. $$y=(0{,}25x+6)^7$$
   
   $$F(x)=\int (0{,}25x+6)^7\,dx=\frac{(0{,}25x+6)^8}{2}+C$$

Ответ

$$\int 1\,dx=x+C,\quad \int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C,\quad \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C,\quad \int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C,$$
$$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,\quad \int \sqrt{x}\,dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C.$$

$$F(x)=\frac{(x-3)^4}{4}+C,\quad \frac{(x+5)^5}{5}+C,\quad \frac{(3x-2)^3}{9}+C,\quad -\frac{(7-2x)^4}{8}+C,\quad \frac{(0{,}2x-8)^5}{5}+C,\quad \frac{(0{,}25x+6)^8}{2}+C.$$