Упр.21.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) F(x) = ln(cos x), f(x) = -tg x;
б) F(x) = sin^4 x — cos^4 x, f(x) = 2sin 2x;
в) F(x) = e^(sin x) + e^(cos x), f(x) = cos(e^(sin x) — tg x · e^(cos x));
г) F(x) = v(lg(x) / lg(e)), f(x) = 1 / (2x vln(x));
д) F(x) = (tg x)^(1/3), f(x) = 2v(ctg^2(2x)) / (3cos^2(2x));
е) F(x) = sin((2x — 1) / (3x + 2)), f(x) = 7/(9x^2 + 12x + 4) · cos((2x — 1) / (3x + 2)). Точка движется по координатной прямой со скоростью, заданной формулой v=v(t). Найдите закон движения s=s(t), если известны начальные условия (t_0, s_0):
а) v=2+6t, t_0=2, s_0=6;
б) v=-sin(t/3), t_0=?, s_0=4;
в) v=3vt, t_0=4, s_0=10;
г) v=3+4t, t_0=5, s_0=30;
д) v=2cos(4t), t_0=?/24, s_0=3,75;
е) v=-2/t^2, t_0=0,25, s_0=5.

1. Проверим, что производная функции $$F(x)$$ совпадает с $$f(x)$$.

   а) $$F(x)=\ln(\cos x)$$

   $$ F'(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\tg x=f(x). $$

   б) $$F(x)=\sin^4 x-\cos^4 x$$

   $$ F'(x)=4\sin^3 x\cos x+4\cos^3 x\sin x $$
   $$ =4\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=4\sin x\cos x=2\sin 2x=f(x). $$

   в) $$F(x)=e^{\sin x}+e^{\cos x}$$

   $$ F'(x)=\cos x\cdot e^{\sin x}-\sin x\cdot e^{\cos x} $$
   $$ =\cos x\left(e^{\sin x}-\tg x\cdot e^{\cos x}\right)=f(x). $$

   г) $$F(x)=\sqrt{\frac{\lg x}{\lg e}}=\sqrt{\ln x}$$

   $$ F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\ln x}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}=f(x). $$

   д) $$F(x)=\sqrt[3]{\tg x}$$

   $$ F'(x)=\frac{1}{3}(\tg x)^{-2/3}\cdot\frac{1}{\cos^2 x} =\frac{1}{3\sqrt[3]{\tg^2 x}\cdot\cos^2 x}. $$
   Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$.

   е) $$F(x)=\sin\frac{2x-1}{3x+2}$$

   $$ F'(x)=\cos\frac{2x-1}{3x+2}\cdot \frac{(3x+2)\cdot 2-(2x-1)\cdot 3}{(3x+2)^2} $$
   $$ =\cos\frac{2x-1}{3x+2}\cdot\frac{7}{(3x+2)^2} =\frac{7}{9x^2+12x+4}\cos\frac{2x-1}{3x+2}=f(x). $$

2. Найдём закон движения $$s=s(t)$$, используя условие $$s'(t)=v(t)$$.

   а) $$v=2+6t,\quad t_0=2,\quad s_0=6$$

   $$ s(t)=\int (2+6t)\,dt=2t+3t^2+C. $$
   Из условия $$s(2)=6$$:
   $$ 6=4+12+C,\quad C=-10. $$
   Значит,
   $$s(t)=2t+3t^2-10.$$

   б) $$v=-\sin\frac{t}{3},\quad t_0=\pi,\quad s_0=4$$

   $$ s(t)=\int -\sin\frac{t}{3}\,dt=3\cos\frac{t}{3}+C. $$
   Из условия $$s(\pi)=4$$:
   $$ 4=3\cos\frac{\pi}{3}+C=\frac{3}{2}+C,\quad C=\frac{5}{2}. $$
   Значит,
   $$s(t)=3\cos\frac{t}{3}+\frac{5}{2}.$$

   в) $$v=3\sqrt{t},\quad t_0=4,\quad s_0=10$$

   $$ s(t)=\int 3t^{1/2}\,dt=2t\sqrt{t}+C. $$
   Из условия $$s(4)=10$$:
   $$ 10=2\cdot 4\cdot 2+C=16+C,\quad C=-6. $$
   Значит,
   $$s(t)=2t\sqrt{t}-6.$$

   г) $$v=3+4t,\quad t_0=5,\quad s_0=30$$

   $$ s(t)=\int (3+4t)\,dt=3t+2t^2+C. $$
   Из условия $$s(5)=30$$:
   $$ 30=15+50+C,\quad C=-35. $$
   Значит,
   $$s(t)=3t+2t^2-35.$$

   д) $$v=2\cos 4t,\quad t_0=\frac{\pi}{24},\quad s_0=3{,}75$$

   $$ s(t)=\int 2\cos 4t\,dt=\frac{1}{2}\sin 4t+C. $$
   Из условия $$s\!\left(\frac{\pi}{24}\right)=3{,}75$$:
   $$ 3{,}75=\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac{1}{4}+C,\quad C=\frac{7}{2}. $$
   Значит,
   $$s(t)=\frac{1}{2}\sin 4t+\frac{7}{2}.$$

   е) $$v=-\frac{2}{t^2},\quad t_0=0{,}25,\quad s_0=5$$

   $$ s(t)=\int -2t^{-2}\,dt=\frac{2}{t}+C. $$
   Из условия $$s(0{,}25)=5$$:
   $$ 5=\frac{2}{0{,}25}+C=8+C,\quad C=-3. $$
   Значит,
   $$s(t)=\frac{2}{t}-3.$$

Ответ

1) $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ во всех пунктах а)–е).
2) $$s(t)=2t+3t^2-10;$$ $$s(t)=3\cos\frac{t}{3}+\frac{5}{2};$$ $$s(t)=2t\sqrt{t}-6;$$ $$s(t)=3t+2t^2-35;$$ $$s(t)=\frac{1}{2}\sin 4t+\frac{7}{2};$$ $$s(t)=\frac{2}{t}-3.$$