Упр.21.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Докажите, что функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$:
а) $$F(x)=\ln(\cos x),\quad f(x)=-\operatorname{tg}x$$;
б) $$F(x)=\sin^4x-\cos^4x,\quad f(x)=2\sin 2x$$;
в) $$F(x)=e^{\sin x}+e^{\cos x},\quad f(x)=\cos\left(e^{\sin x}-\operatorname{tg}x\cdot e^{\cos x}\right)$$;
г) $$F(x)=\sqrt{\frac{\lg x}{\lg e}},\quad f(x)=\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$$;
д) $$F(x)=(\operatorname{tg}x)^{\frac13},\quad f(x)=\frac{2\sqrt{\operatorname{ctg}^2(2x)}}{3\cos^2(2x)}$$;
е) $$F(x)=\sin\left(\frac{2x-1}{3x+2}\right),\quad f(x)=\frac{7}{9x^2+12x+4}\cdot\cos\left(\frac{2x-1}{3x+2}\right)$$.
Точка движется по координатной прямой со скоростью, заданной формулой $$v=v(t)$$. Найдите закон движения $$s=s(t)$$, если известны начальные условия $$(t_0,s_0)$$:
а) $$v=2+6t,\quad t_0=2,\quad s_0=6$$;
б) $$v=-\sin\left(\frac{t}{3}\right),\quad t_0=?,\quad s_0=4$$;
в) $$v=3\sqrt{t},\quad t_0=4,\quad s_0=10$$;
г) $$v=3+4t,\quad t_0=5,\quad s_0=30$$;
д) $$v=2\cos(4t),\quad t_0=?/24,\quad s_0=3{,}75$$;
е) $$v=-\frac{2}{t^2},\quad t_0=0{,}25,\quad s_0=5$$.
Проверим, что производная функции $$F(x)$$ совпадает с $$f(x)$$.
а) $$F(x)=\ln(\cos x)$$
$$F'(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\tg x=f(x).$$
б) $$F(x)=\sin^4 x-\cos^4 x$$
$$F'(x)=4\sin^3 x\cos x+4\cos^3 x\sin x$$
$$=4\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=4\sin x\cos x=2\sin 2x=f(x).$$в) $$F(x)=e^{\sin x}+e^{\cos x}$$
$$F'(x)=\cos x\cdot e^{\sin x}-\sin x\cdot e^{\cos x}$$
$$=\cos x\left(e^{\sin x}-\tg x\cdot e^{\cos x}\right)=f(x).$$г) $$F(x)=\sqrt{\frac{\lg x}{\lg e}}=\sqrt{\ln x}$$
$$F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\ln x}}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}=f(x).$$
д) $$F(x)=\sqrt[3]{\tg x}$$
$$F'(x)=\frac{1}{3}(\tg x)^{-2/3}\cdot\frac{1}{\cos^2 x} =\frac{1}{3\sqrt[3]{\tg^2 x}\cdot\cos^2 x}.$$
Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$.е) $$F(x)=\sin\frac{2x-1}{3x+2}$$
$$F'(x)=\cos\frac{2x-1}{3x+2}\cdot \frac{(3x+2)\cdot 2-(2x-1)\cdot 3}{(3x+2)^2}$$
$$=\cos\frac{2x-1}{3x+2}\cdot\frac{7}{(3x+2)^2} =\frac{7}{9x^2+12x+4}\cos\frac{2x-1}{3x+2}=f(x).$$Найдём закон движения $$s=s(t)$$, используя условие $$s'(t)=v(t)$$.
а) $$v=2+6t,\quad t_0=2,\quad s_0=6$$
$$s(t)=\int (2+6t)\,dt=2t+3t^2+C.$$
Из условия $$s(2)=6$$:
$$6=4+12+C,\quad C=-10.$$
Значит,
$$s(t)=2t+3t^2-10.$$б) $$v=-\sin\frac{t}{3},\quad t_0=\pi,\quad s_0=4$$
$$s(t)=\int -\sin\frac{t}{3}\,dt=3\cos\frac{t}{3}+C.$$
Из условия $$s(\pi)=4$$:
$$4=3\cos\frac{\pi}{3}+C=\frac{3}{2}+C,\quad C=\frac{5}{2}.$$
Значит,
$$s(t)=3\cos\frac{t}{3}+\frac{5}{2}.$$в) $$v=3\sqrt{t},\quad t_0=4,\quad s_0=10$$
$$s(t)=\int 3t^{1/2}\,dt=2t\sqrt{t}+C.$$
Из условия $$s(4)=10$$:
$$10=2\cdot 4\cdot 2+C=16+C,\quad C=-6.$$
Значит,
$$s(t)=2t\sqrt{t}-6.$$г) $$v=3+4t,\quad t_0=5,\quad s_0=30$$
$$s(t)=\int (3+4t)\,dt=3t+2t^2+C.$$
Из условия $$s(5)=30$$:
$$30=15+50+C,\quad C=-35.$$
Значит,
$$s(t)=3t+2t^2-35.$$д) $$v=2\cos 4t,\quad t_0=\frac{\pi}{24},\quad s_0=3{,}75$$
$$s(t)=\int 2\cos 4t\,dt=\frac{1}{2}\sin 4t+C.$$
Из условия $$s\!\left(\frac{\pi}{24}\right)=3{,}75$$:
$$3{,}75=\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac{1}{4}+C,\quad C=\frac{7}{2}.$$
Значит,
$$s(t)=\frac{1}{2}\sin 4t+\frac{7}{2}.$$е) $$v=-\frac{2}{t^2},\quad t_0=0{,}25,\quad s_0=5$$
$$s(t)=\int -2t^{-2}\,dt=\frac{2}{t}+C.$$
Из условия $$s(0{,}25)=5$$:
$$5=\frac{2}{0{,}25}+C=8+C,\quad C=-3.$$
Значит,
$$s(t)=\frac{2}{t}-3.$$
Ответ
1) $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ во всех пунктах а)–е).
2) $$s(t)=2t+3t^2-10;$$ $$s(t)=3\cos\frac{t}{3}+\frac{5}{2};$$ $$s(t)=2t\sqrt{t}-6;$$ $$s(t)=3t+2t^2-35;$$ $$s(t)=\frac{1}{2}\sin 4t+\frac{7}{2};$$ $$s(t)=\frac{2}{t}-3.$$
