Упр.21.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Докажите, что функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$:
а) $$F(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right),\quad f(x)=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x$$;
б) $$F(x)=2\operatorname{arctg}x-3\operatorname{arcctg}x,\quad f(x)=\frac{5}{1+x^2}$$;
в) $$F(x)=x^3e^{2x},\quad f(x)=x^2e^{2x}(2x+3)$$;
г) $$F(x)=3\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{6}\right),\quad f(x)=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\right)$$;
д) $$F(x)=3\arcsin(2x)-2\arccos(2x),\quad f(x)=\frac{10}{\sqrt{1-4x^2}}$$;
е) $$F(x)=\ln(2x+1)-\frac{2}{x^2},\quad f(x)=\frac{2(x+1)^2}{x^2(2x+1)}$$.
Точка движется по координатной прямой. Ускорение движения точки задано формулой $$a(t)=6(t+1)^2$$, $$t$$ — время движения. Найдите закон изменения скорости $$v=v(t)$$ и закон движения $$s=s(t)$$, если $$v(1)=10$$, $$s(1)=3$$.
Проверим, что в каждом пункте производная функции $$F(x)$$ совпадает с $$f(x)$$.
а) $$F(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$$
$$F'(x)=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$$
$$=2\left(\cos 2x\cos\frac{\pi}{3}-\sin 2x\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
$$=2\left(\cos 2x\cdot\frac12-\sin 2x\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right)$$
$$=\cos 2x-\sqrt3\sin 2x=f(x).$$б) $$F(x)=2\arctg x-3\operatorname{arcctg}x$$
$$F'(x)=2\cdot\frac{1}{1+x^2}-3\cdot\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)$$
$$=\frac{2+3}{1+x^2}=\frac{5}{1+x^2}=f(x).$$в) $$F(x)=x^3e^{2x}$$
$$F'(x)=3x^2e^{2x}+x^3\cdot 2e^{2x}$$
$$=x^2e^{2x}(3+2x)=x^2e^{2x}(2x+3)=f(x).$$г) $$F(x)=3\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$F'(x)=3\cdot\left(-\frac13\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$
$$=-\sin\frac{x}{3}\cos\frac{\pi}{6}+\cos\frac{x}{3}\sin\frac{\pi}{6}$$
$$=\frac12\left(\cos\frac{x}{3}-\sqrt3\sin\frac{x}{3}\right)=f(x).$$д) $$F(x)=3\arcsin(2x)-2\arccos(2x)$$
$$F'(x)=3\cdot\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}-2\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)$$
$$=\frac{6+4}{\sqrt{1-4x^2}}=\frac{10}{\sqrt{1-4x^2}}=f(x).$$е) $$F(x)=\ln(2x+1)-\frac{2}{x^2}$$
$$F'(x)=\frac{2}{2x+1}-2\cdot(-2x^{-3})$$
$$=\frac{2}{2x+1}+\frac{4}{x^3}$$
$$=\frac{2x^3+4(2x+1)}{x^3(2x+1)}$$
$$=\frac{2(x^3+4x+2)}{x^3(2x+1)}=f(x).$$Так как $$a(t)=v'(t)=6(t+1)^2$$, найдём скорость:
$$v(t)=\int 6(t+1)^2\,dt=2(t+1)^3+C.$$
Из условия $$v(1)=10$$ получаем:
$$10=2\cdot 2^3+C,$$
$$10=16+C,$$
$$C=-6.$$Значит,
$$v(t)=2(t+1)^3-6.$$
Теперь найдём закон движения $$s(t)$$, учитывая, что $$s'(t)=v(t)$$:
$$s(t)=\int \left(2(t+1)^3-6\right)\,dt=\frac{(t+1)^4}{2}-6t+C.$$
Из условия $$s(1)=3$$:
$$3=\frac{2^4}{2}-6+C,$$
$$3=8-6+C,$$
$$C=1.$$Следовательно,
$$s(t)=\frac{(t+1)^4}{2}-6t+1.$$
Ответ
$$F'(x)=f(x)$$ во всех пунктах;
$$v(t)=2(t+1)^3-6,$$
$$s(t)=\frac{(t+1)^4}{2}-6t+1.$$
