Упр.21.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) F(x) = sin(2x + ?/3), f(x) = cos 2x — v3 sin 2x;
б) F(x) = 2arctg x — 3arcctg x, f(x) = 5 / (1 + x^2);
в) F(x) = x^3 e^(2x), f(x) = x^2 e^(2x) (2x + 3);
г) F(x) = 3cos(x/3 — ?/6), f(x) = 1/2 (cos(x/3)-v3 sin(x/3));
д) F(x) = 3arcsin(2x)-2arccos(2x), f(x) = 10 / v(1 — 4x^2);
е) F(x) = ln(2x + 1) — 2/x^2, f(x) = 2(x + 1)^2 / (x^2 (2x + 1)). Точка движется по координатной прямой. Ускорение движения точки задано формулой a(t)=6(t+1)^2, t — время движения. Найдите закон изменения скорости v=v(t) и закон движения s=s(t), если v(1)=10, s(1)=3.

1. Проверим, что в каждом пункте производная функции $$F(x)$$ совпадает с $$f(x)$$.

   а) $$F(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$$

   $$F'(x)=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$$
   $$=2\left(\cos 2x\cos\frac{\pi}{3}-\sin 2x\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
   $$=2\left(\cos 2x\cdot\frac12-\sin 2x\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right)$$
   $$=\cos 2x-\sqrt3\sin 2x=f(x).$$

   б) $$F(x)=2\arctg x-3\operatorname{arcctg}x$$

   $$F'(x)=2\cdot\frac{1}{1+x^2}-3\cdot\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)$$
   $$=\frac{2+3}{1+x^2}=\frac{5}{1+x^2}=f(x).$$

   в) $$F(x)=x^3e^{2x}$$

   $$F'(x)=3x^2e^{2x}+x^3\cdot 2e^{2x}$$
   $$=x^2e^{2x}(3+2x)=x^2e^{2x}(2x+3)=f(x).$$

   г) $$F(x)=3\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)$$

   $$F'(x)=3\cdot\left(-\frac13\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$
   $$=-\sin\frac{x}{3}\cos\frac{\pi}{6}+\cos\frac{x}{3}\sin\frac{\pi}{6}$$
   $$=\frac12\left(\cos\frac{x}{3}-\sqrt3\sin\frac{x}{3}\right)=f(x).$$

   д) $$F(x)=3\arcsin(2x)-2\arccos(2x)$$

   $$F'(x)=3\cdot\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}-2\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)$$
   $$=\frac{6+4}{\sqrt{1-4x^2}}=\frac{10}{\sqrt{1-4x^2}}=f(x).$$

   е) $$F(x)=\ln(2x+1)-\frac{2}{x^2}$$

   $$F'(x)=\frac{2}{2x+1}-2\cdot(-2x^{-3})$$
   $$=\frac{2}{2x+1}+\frac{4}{x^3}$$
   $$=\frac{2x^3+4(2x+1)}{x^3(2x+1)}$$
   $$=\frac{2(x^3+4x+2)}{x^3(2x+1)}=f(x).$$

2. Так как $$a(t)=v'(t)=6(t+1)^2$$, найдём скорость:

   $$v(t)=\int 6(t+1)^2\,dt=2(t+1)^3+C.$$

   Из условия $$v(1)=10$$ получаем:

   $$10=2\cdot 2^3+C,$$
   $$10=16+C,$$
   $$C=-6.$$

   Значит,

   $$v(t)=2(t+1)^3-6.$$

   Теперь найдём закон движения $$s(t)$$, учитывая, что $$s'(t)=v(t)$$:

   $$s(t)=\int \left(2(t+1)^3-6\right)\,dt=\frac{(t+1)^4}{2}-6t+C.$$

   Из условия $$s(1)=3$$:

   $$3=\frac{2^4}{2}-6+C,$$
   $$3=8-6+C,$$
   $$C=1.$$

   Следовательно,

   $$s(t)=\frac{(t+1)^4}{2}-6t+1.$$

Ответ

$$F'(x)=f(x)$$ во всех пунктах;
$$v(t)=2(t+1)^3-6,$$
$$s(t)=\frac{(t+1)^4}{2}-6t+1.$$