Упр.21.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=2cos(x), P(-?/6; -2); г) y=v2sin(x), P(?/4; 1);
б) y=-1/sin^2(x), P(-?/4; 0); д) y=v3/cos^2(x), P(?/3; -1);
в) y=1-2sin^2(x/2), P(?/2; 3); е) y=4sin(x/2)cos(x/2), P(2?/3; -3). Для указанной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку Р:
а) y=cos(x)-sin(x), P(0; -3);
б) y=1/cos^2(x)+sin(3x), P(?/4; -v2/6);
в) y=cos(x/3+?/6)+1, P(0; 3);
г) y=2sin(x)-cos(x), P(?/2; 8);
д) y=3/sin^2(x)-cos(x/2), P(?/3; -v3);
е) y=1/cos^2(2x+?/4)-x, P(0; -2).

Подробный ответ

а) $$y=2\cos x$$
Первообразная:
$$F(x)=2\sin x+C$$
Подставим точку $$P\left(-\frac{\pi}{6};-2\right)$$:
$$-2=2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)+C=-1+C$$
$$C=-1$$
$$F(x)=2\sin x-1$$
б) $$y=-\frac{1}{\sin^2 x}$$
Первообразная:
$$F(x)=\ctg x+C$$
Подставим точку $$P\left(-\frac{\pi}{4};0\right)$$:
$$0=\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)+C=-1+C$$
$$C=1$$
$$F(x)=\ctg x+1$$
в) $$y=1-2\sin^2\frac{x}{2}$$
Используем тождество $$1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos x$$, тогда
$$F(x)=\sin x+C$$
Подставим точку $$P\left(\frac{\pi}{2};3\right)$$:
$$3=\sin\frac{\pi}{2}+C=1+C$$
$$C=2$$
$$F(x)=\sin x+2$$
г) $$y=\sqrt{2}\sin x$$
Первообразная:
$$F(x)=-\sqrt{2}\cos x+C$$
Подставим точку $$P\left(\frac{\pi}{4};1\right)$$:
$$1=-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}+C=-1+C$$
$$C=2$$
$$F(x)=-\sqrt{2}\cos x+2$$
д) $$y=\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}$$
Первообразная:
$$F(x)=\sqrt{3}\tg x+C$$
Подставим точку $$P\left(\frac{\pi}{3};-1\right)$$:
$$-1=\sqrt{3}\tg\frac{\pi}{3}+C=3+C$$
$$C=-4$$
$$F(x)=\sqrt{3}\tg x-4$$
е) $$y=4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$
Используем тождество $$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\sin x$$, тогда
$$y=2\sin x$$
Первообразная:
$$F(x)=-2\cos x+C$$
Подставим точку $$P\left(\frac{2\pi}{3};-3\right)$$:
$$-3=-2\cos\frac{2\pi}{3}+C=1+C$$
$$C=-4$$
$$F(x)=-2\cos x-4$$

Ответ

$$2\sin x-1$$
$$\ctg x+1$$
$$\sin x+2$$
$$-\sqrt{2}\cos x+2$$
$$\sqrt{3}\tg x-4$$
$$-2\cos x-4$$

Ход решения

а) $$y=\cos x-\sin x$$
$$F(x)=\sin x+\cos x+C$$
Из условия $$P(0;-3)$$:
$$-3=0+1+C$$
$$C=-4$$
$$F(x)=\sin x+\cos x-4$$
б) $$y=\frac{1}{\cos^2 x}+\sin 3x$$
$$F(x)=\tg x-\frac{1}{3}\cos 3x+C$$
Из условия $$P\left(\frac{\pi}{4};-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$$:
$$-\frac{\sqrt{2}}{6}=1-\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{4}+C=1+\frac{\sqrt{2}}{6}+C$$
$$C=-1-\frac{\sqrt{2}}{3}$$
$$F(x)=\tg x-\frac{1}{3}\cos 3x-\frac{\sqrt{2}}{3}-1$$
в) $$y=\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+1$$
$$F(x)=3\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+x+C$$
Из условия $$P(0;3)$$:
$$3=3\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac{3}{2}+C$$
$$C=\frac{3}{2}$$
$$F(x)=3\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+x+\frac{3}{2}$$
г) $$y=2\sin x-\cos x$$
$$F(x)=-2\cos x-\sin x+C$$
Из условия $$P\left(\frac{\pi}{2};8\right)$$:
$$8=-2\cdot 0-1+C$$
$$C=9$$
$$F(x)=-2\cos x-\sin x+9$$
д) $$y=\frac{3}{\sin^2 x}-\cos\frac{x}{2}$$
$$F(x)=-3\ctg x-2\sin\frac{x}{2}+C$$
Из условия $$P\left(\frac{\pi}{3};-\sqrt{3}\right)$$:
$$-\sqrt{3}=-3\ctg\frac{\pi}{3}-2\sin\frac{\pi}{6}+C=-\sqrt{3}-1+C$$
$$C=1$$
$$F(x)=-3\ctg x-2\sin\frac{x}{2}+1$$
е) $$y=\frac{1}{\cos^2\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}-x$$
$$F(x)=\frac{1}{2}\tg\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{x^2}{2}+C$$
Из условия $$P(0;-2)$$:
$$-2=\frac{1}{2}\tg\frac{\pi}{4}+C=\frac{1}{2}+C$$
$$C=-\frac{5}{2}$$
$$F(x)=\frac{1}{2}\tg\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}$$