Упр.21.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=2\cos x$$

   Первообразная:

   $$F(x)=2\sin x+C$$

   Подставим точку $$P\left(-\frac{\pi}{6};-2\right)$$:

   $$-2=2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)+C=-1+C$$

   $$C=-1$$

   $$F(x)=2\sin x-1$$

2. б) $$y=-\frac{1}{\sin^2 x}$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\ctg x+C$$

   Подставим точку $$P\left(-\frac{\pi}{4};0\right)$$:

   $$0=\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)+C=-1+C$$

   $$C=1$$

   $$F(x)=\ctg x+1$$

3. в) $$y=1-2\sin^2\frac{x}{2}$$

   Используем тождество $$1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos x$$, тогда

   $$F(x)=\sin x+C$$

   Подставим точку $$P\left(\frac{\pi}{2};3\right)$$:

   $$3=\sin\frac{\pi}{2}+C=1+C$$

   $$C=2$$

   $$F(x)=\sin x+2$$

4. г) $$y=\sqrt{2}\sin x$$

   Первообразная:

   $$F(x)=-\sqrt{2}\cos x+C$$

   Подставим точку $$P\left(\frac{\pi}{4};1\right)$$:

   $$1=-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}+C=-1+C$$

   $$C=2$$

   $$F(x)=-\sqrt{2}\cos x+2$$

5. д) $$y=\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\sqrt{3}\tg x+C$$

   Подставим точку $$P\left(\frac{\pi}{3};-1\right)$$:

   $$-1=\sqrt{3}\tg\frac{\pi}{3}+C=3+C$$

   $$C=-4$$

   $$F(x)=\sqrt{3}\tg x-4$$

6. е) $$y=4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$

   Используем тождество $$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\sin x$$, тогда

   $$y=2\sin x$$

   Первообразная:

   $$F(x)=-2\cos x+C$$

   Подставим точку $$P\left(\frac{2\pi}{3};-3\right)$$:

   $$-3=-2\cos\frac{2\pi}{3}+C=1+C$$

   $$C=-4$$

   $$F(x)=-2\cos x-4$$

Ответ

1. $$2\sin x-1$$
2. $$\ctg x+1$$
3. $$\sin x+2$$
4. $$-\sqrt{2}\cos x+2$$
5. $$\sqrt{3}\tg x-4$$
6. $$-2\cos x-4$$

1. а) $$y=\cos x-\sin x$$

   $$F(x)=\sin x+\cos x+C$$

   Из условия $$P(0;-3)$$:

   $$-3=0+1+C$$

   $$C=-4$$

   $$F(x)=\sin x+\cos x-4$$

2. б) $$y=\frac{1}{\cos^2 x}+\sin 3x$$

   $$F(x)=\tg x-\frac{1}{3}\cos 3x+C$$

   Из условия $$P\left(\frac{\pi}{4};-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)$$:

   $$-\frac{\sqrt{2}}{6}=1-\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{4}+C=1+\frac{\sqrt{2}}{6}+C$$

   $$C=-1-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

   $$F(x)=\tg x-\frac{1}{3}\cos 3x-\frac{\sqrt{2}}{3}-1$$

3. в) $$y=\cos\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+1$$

   $$F(x)=3\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+x+C$$

   Из условия $$P(0;3)$$:

   $$3=3\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac{3}{2}+C$$

   $$C=\frac{3}{2}$$

   $$F(x)=3\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+x+\frac{3}{2}$$

4. г) $$y=2\sin x-\cos x$$

   $$F(x)=-2\cos x-\sin x+C$$

   Из условия $$P\left(\frac{\pi}{2};8\right)$$:

   $$8=-2\cdot 0-1+C$$

   $$C=9$$

   $$F(x)=-2\cos x-\sin x+9$$

5. д) $$y=\frac{3}{\sin^2 x}-\cos\frac{x}{2}$$

   $$F(x)=-3\ctg x-2\sin\frac{x}{2}+C$$

   Из условия $$P\left(\frac{\pi}{3};-\sqrt{3}\right)$$:

   $$-\sqrt{3}=-3\ctg\frac{\pi}{3}-2\sin\frac{\pi}{6}+C=-\sqrt{3}-1+C$$

   $$C=1$$

   $$F(x)=-3\ctg x-2\sin\frac{x}{2}+1$$

6. е) $$y=\frac{1}{\cos^2\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}-x$$

   $$F(x)=\frac{1}{2}\tg\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{x^2}{2}+C$$

   Из условия $$P(0;-2)$$:

   $$-2=\frac{1}{2}\tg\frac{\pi}{4}+C=\frac{1}{2}+C$$

   $$C=-\frac{5}{2}$$

   $$F(x)=\frac{1}{2}\tg\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}$$

Ответ

1. $$\sin x+\cos x-4$$
2. $$\tg x-\frac{1}{3}\cos 3x-\frac{\sqrt{2}}{3}-1$$
3. $$3\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+x+\frac{3}{2}$$
4. $$-2\cos x-\sin x+9$$
5. $$-3\ctg x-2\sin\frac{x}{2}+1$$
6. $$\frac{1}{2}\tg\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}$$