Упр.21.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Приведите пример хотя бы одной функции $$y=f(x)$$, если известна её производная: а) $$f'(x)=\sin(x)$$; г) $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$; б) $$f'(x)=-\cos(x)$$; д) $$f'(x)=2x+1$$; в) $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$; е) $$f'(x)=3x^2-x$$.
- Задание учебника 2022 года. Найдите хотя бы одну первообразную для данной функции $$y=f(x)$$: а) $$f(x)=x+1$$; в) $$f(x)=2x-5$$; д) $$f(x)=\frac{x+2}{3}$$; б) $$f(x)=x-3$$; г) $$f(x)=-3x+4$$; е) $$f(x)=\frac{4x-1}{6}$$.
Используем правило: если $$F'(x)=f(x),$$ то любая первообразная для функции $$f(x)$$ имеет вид $$F(x)+C.$$
Если $$f'(x)=\sin x,$$ то можно взять
$$f(x)=-\cos x.$$
Проверка: $$(-\cos x)’=\sin x.$$
Если $$f'(x)=-\cos x,$$ то можно взять
$$f(x)=-\sin x.$$
Проверка: $$(-\sin x)’=-\cos x.$$
Если $$f'(x)=-\frac{1}{x^2},$$ то можно взять
$$f(x)=\frac{1}{x}.$$
Проверка: $$\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2}.$$
Если $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},$$ то можно взять
$$f(x)=2\sqrt{x}.$$
Проверка: $$(2\sqrt{x})’=\frac{1}{\sqrt{x}}.$$
Если $$f'(x)=2x+1,$$ то можно взять
$$f(x)=x^2+x.$$
Проверка: $$(x^2+x)’=2x+1.$$
Если $$f'(x)=3x^2-x,$$ то можно взять
$$f(x)=x^3-\frac{1}{2}x^2.$$
Проверка: $$\left(x^3-\frac{1}{2}x^2\right)’=3x^2-x.$$
Теперь найдём хотя бы одну первообразную для каждой функции.
$$f(x)=x+1$$
$$F(x)=\int (x+1)\,dx=\frac{x^2}{2}+x+C.$$
$$f(x)=x-3$$
$$F(x)=\int (x-3)\,dx=\frac{x^2}{2}-3x+C.$$
$$f(x)=2x-5$$
$$F(x)=\int (2x-5)\,dx=x^2-5x+C.$$
$$f(x)=-3x+4$$
$$F(x)=\int (-3x+4)\,dx=-\frac{3x^2}{2}+4x+C.$$
$$f(x)=\frac{x+2}{3}$$
$$F(x)=\int \frac{x+2}{3}\,dx=\frac{x^2}{6}+\frac{2x}{3}+C.$$
$$f(x)=\frac{4x-1}{6}$$
$$F(x)=\int \frac{4x-1}{6}\,dx=\frac{x^2}{3}-\frac{x}{6}+C.$$
Ответ
1) $$f(x)=-\cos x$$; 2) $$f(x)=-\sin x$$; 3) $$f(x)=\frac{1}{x}$$; 4) $$f(x)=2\sqrt{x}$$; 5) $$f(x)=x^2+x$$; 6) $$f(x)=x^3-\frac{1}{2}x^2$$.
Первообразные: а) $$F(x)=\frac{x^2}{2}+x+C$$; б) $$F(x)=\frac{x^2}{2}-3x+C$$; в) $$F(x)=x^2-5x+C$$; г) $$F(x)=-\frac{3x^2}{2}+4x+C$$; д) $$F(x)=\frac{x^2}{6}+\frac{2x}{3}+C$$; е) $$F(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{x}{6}+C$$.
