Упр.20.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) y=-1/x^2, P(-1; 1); г) y=1/(2vx), P(0,25; 2);
б) y=6x^2, P(-2; 3); д) y=4x^3, P(1; -0,5);
в) y=e^x, P(0; 2); е) y=1/x, P(1; 1).

Подробный ответ

1) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда по условию

$$xy=1200,\qquad y=\frac{1200}{x}.$$

Длина забора состоит из трёх сторон прямоугольника и перегородки посередине, значит

$$l(x)=3x+y=3x+\frac{1200}{x},\qquad x>0.$$

Найдём минимум этой функции:

$$l'(x)=3-\frac{1200}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$3-\frac{1200}{x^2}=0,$$
$$3x^2=1200,$$
$$x^2=400,$$
$$x=20.$$

Тогда

$$y=\frac{1200}{20}=60.$$

Минимальная длина забора:

$$l_{\min}=3\cdot 20+60=120\text{ м}.$$

2) Найдём первообразные и подберём константу по точке $P$.

а) $$y=-\frac{1}{x^2}$$, $$P(-1;1)$$
$$F(x)=\int -x^{-2}\,dx=\frac{1}{x}+C.$$
Подставим точку:
$$1=\frac{1}{-1}+C,$$
$$C=2.$$
$$F(x)=\frac{1}{x}+2.$$
б) $$y=6x^2$$, $$P(-2;3)$$
$$F(x)=\int 6x^2\,dx=2x^3+C.$$
$$3=2\cdot(-2)^3+C,$$
$$3=-16+C,$$
$$C=19.$$
$$F(x)=2x^3+19.$$
в) $$y=e^x$$, $$P(0;2)$$
$$F(x)=\int e^x\,dx=e^x+C.$$
$$2=e^0+C,$$
$$2=1+C,$$
$$C=1.$$
$$F(x)=e^x+1.$$
г) $$y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$, $$P(0{,}25;2)$$
$$F(x)=\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\int \frac{1}{2}x^{-1/2}\,dx=\sqrt{x}+C.$$
$$2=\sqrt{0{,}25}+C,$$
$$2=0{,}5+C,$$
$$C=1{,}5.$$
$$F(x)=\sqrt{x}+1{,}5.$$
д) $$y=4x^3$$, $$P(1;-0{,}5)$$
$$F(x)=\int 4x^3\,dx=x^4+C.$$
$$-0{,}5=1+C,$$
$$C=-1{,}5.$$
$$F(x)=x^4-1{,}5.$$
е) $$y=\frac{1}{x}$$, $$P(1;1)$$
$$F(x)=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.$$
$$1=\ln|1|+C,$$
$$1=0+C,$$
$$C=1.$$
$$F(x)=\ln|x|+1.$$