Упр.20.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Сумма катетов прямоугольного треугольника равна $$15\text{ см}$$. Каковы должны быть катеты, чтобы гипотенуза была наименьшей?
- Для данной функции найдите хотя бы одну первообразную:
а) $$y=\sin(2x)$$; б) $$y=1-\cos(x)$$; в) $$y=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1$$; г) $$y=\sin(x)\cos(x)$$; д) $$y=\operatorname{tg}^2(x)$$; е) $$y=1+\operatorname{ctg}^2(x)$$.
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$x+y=15,\qquad y=15-x.$$
Гипотенуза равна
$$l(x)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(15-x)^2}=\sqrt{2x^2-30x+225}.$$
Чтобы гипотенуза была наименьшей, достаточно минимизировать выражение под корнем:
$$2x^2-30x+225.$$
Это квадратный трёхчлен, его минимум достигается в вершине параболы:
$$x=\frac{30}{2\cdot 2}=7{,}5.$$
Тогда
$$y=15-7{,}5=7{,}5.$$
Значит, катеты должны быть равны.
Найдём первообразные.
$$y=\sin 2x.$$
$$F(x)=-\frac12\cos 2x+C.$$
$$y=1-\cos x.$$
$$F(x)=x-\sin x+C.$$
$$y=2\cos^2\frac{x}{2}-1.$$
Используем формулу $$2\cos^2\frac{x}{2}-1=\cos x$$, тогда
$$F(x)=\sin x+C.$$
$$y=\sin x\cos x.$$
Так как $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x$$, то
$$F(x)=-\frac14\cos 2x+C.$$
$$y=\tg^2 x.$$
Так как $$\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}-1,$$ получаем
$$F(x)=\tg x-x+C.$$
$$y=1+\ctg^2 x.$$
Так как $$1+\ctg^2 x=\frac{1}{\sin^2 x},$$ то
$$F(x)=-\ctg x+C.$$
Ответ
Катеты: $$7{,}5\text{ см}$$ и $$7{,}5\text{ см}$$.
а) $$F(x)=-\frac12\cos 2x+C$$; б) $$F(x)=x-\sin x+C$$; в) $$F(x)=\sin x+C$$; г) $$F(x)=-\frac14\cos 2x+C$$; д) $$F(x)=\tg x-x+C$$; е) $$F(x)=-\ctg x+C$$.
