Упр.20.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) Площадь прямоугольника равна 16 см^2. Какими должны быть его стороны, чтобы он имел наименьший периметр? Для данной функции найдите хотя бы одну первообразную:
а) y=2/x^2; в) y=1/x; д) y=-1/vx;
б) y=x^2; г) y=x^(-3); е) y=3vx.
а) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$2x+2y=36,\quad y=18-x.$$
Площадь:
$$S(x)=xy=x(18-x)=18x-x^2.$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшая площадь достигается в вершине:
$$x=\frac{18}{2}=9,\quad y=18-9=9.$$
Следовательно, наибольшая площадь будет у квадрата со стороной $$9$$ см.
б) Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$xy=16,\quad y=\frac{16}{x}.$$
Периметр:
$$P(x)=2x+2y=2x+\frac{32}{x},\quad x>0.$$
Найдём минимум функции:
$$P'(x)=2-\frac{32}{x^2}.$$
Приравняем производную к нулю:
$$2-\frac{32}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2=16 \;\Rightarrow\; x=4.$$
Тогда
$$y=\frac{16}{4}=4.$$
Минимальный периметр имеет квадрат со стороной $$4$$ см.
Найдём первообразные:
а) $$y=\frac{2}{x^2}=2x^{-2}$$
$$F(x)=\int 2x^{-2}\,dx=-\frac{2}{x}+C.$$
б) $$y=x^2$$
$$F(x)=\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C.$$
в) $$y=\frac{1}{x}$$
$$F(x)=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.$$
г) $$y=x^{-3}$$
$$F(x)=\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}+C.$$
д) $$y=-\frac{1}{\sqrt{x}}=-x^{-1/2}$$
$$F(x)=\int -x^{-1/2}\,dx=-2\sqrt{x}+C.$$
е) $$y=3\sqrt{x}=3x^{1/2}$$
$$F(x)=\int 3x^{1/2}\,dx=2x\sqrt{x}+C.$$
Ответ
а) $$9$$ см и $$9$$ см; б) $$4$$ см и $$4$$ см; первообразные: а) $$-\frac{2}{x}+C$$, б) $$\frac{x^3}{3}+C$$, в) $$\ln|x|+C$$, г) $$-\frac{1}{2x^2}+C$$, д) $$-2\sqrt{x}+C$$, е) $$2x\sqrt{x}+C$$.
