Упр.20.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) При каком значении параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2 + 2a = 1 — ax будет наименьшей? Установите, что функция y=F(x) не является первообразной для функции y=f(x):
а) F(x)=e^(3x), f(x)=e^(3x);
б) F(x)=cos(4x), f(x)=-4sin(x);
в) F(x)=v(2x+5), f(x)=1/(2v(2x+5));
г) F(x)=3^(x-2), f(x)=3^xln(3);
д) F(x)=sin(x/2), f(x)=cos(x/2);
е) F(x)=(1-x)^4, f(x)=4(1-x)^3.

Подробный ответ

а) Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения
$$x^2+4a^2=2ax-3a.$$
Тогда
$$x^2-2ax+4a^2+3a=0.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=2a,\qquad x_1x_2=4a^2+3a.$$
Сумма квадратов корней равна
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2a)^2-2(4a^2+3a)=-4a^2-6a.$$
Рассмотрим функцию
$$f(a)=-4a^2-6a.$$
Это парабола, ветви направлены вниз, значит максимум достигается в вершине:
$$a=-\frac{6}{2\cdot(-4)}=-\frac34.$$
Проверим существование корней:
$$D=(2a)^2-4(4a^2+3a)=-12a(a+1)\ge 0,$$
откуда
$$-1\le a\le 0.$$
Значение $a=-\frac34$ этому условию удовлетворяет.
б) Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения
$$x^2+2a=1-ax.$$
Тогда
$$x^2+ax+2a-1=0.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=2a-1.$$
Сумма квадратов корней:
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-4a+2.$$
Рассмотрим функцию
$$g(a)=a^2-4a+2=(a-2)^2-2.$$
Минимум достигается при
$$a=2.$$
Проверим существование корней:
$$D=a^2-4(2a-1)=a^2-8a+4\ge 0.$$
Корни этого неравенства:
$$a=4\pm 2\sqrt{3}.$$
Следовательно, при $a\le 4-2\sqrt{3}$ или $a\ge 4+2\sqrt{3}$ уравнение имеет корни. Значение $a=2$ не подходит, поэтому наименьшее значение суммы квадратов достигается на границе допустимой области при
$$a=4-2\sqrt{3}.$$
Проверим, что функция $y=F(x)$ не является первообразной для $y=f(x)$.
Нужно показать, что $F'(x)\ne f(x)$.
а) $$F(x)=e^{3x},\quad F'(x)=3e^{3x}\ne e^{3x}=f(x).$$
б) $$F(x)=\cos 4x,\quad F'(x)=-4\sin 4x\ne -4\sin x=f(x).$$
в) $$F(x)=\sqrt{2x+5},\quad F'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\ne \frac{1}{2\sqrt{2x+5}}=f(x).$$
г) $$F(x)=3^{x-2},\quad F'(x)=3^{x-2}\ln 3\ne 3^x\ln 3=f(x).$$
д) $$F(x)=\sin\frac{x}{2},\quad F'(x)=\frac12\cos\frac{x}{2}\ne \cos\frac{x}{2}=f(x).$$
е) $$F(x)=(1-x)^4,\quad F'(x)=-4(1-x)^3\ne 4(1-x)^3=f(x).$$