Упр.20.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) x^2+(p-2)x+p-3=0;
б) x^2-(p-3)x+2p-10=0. Установите, что функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x):
а) F(x)=e^(2x), f(x)=2e^(2x);
б) F(x)=3ln(x), f(x)=3/x;
в) F(x)=2^(x+1), f(x)=2^(x+1)ln(2);
г) F(x)=(1/6)e^(6x), f(x)=e^(6x);
д) F(x)=ln(5x), f(x)=1/x;
е) F(x)=5^(2x-1)/ln(5), f(x)=2·5^(2x-1).
а) $$x^2+(p-2)x+p-3=0$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=2-p,\qquad x_1x_2=p-3.$$
Тогда сумма квадратов корней
$$S=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2-p)^2-2(p-3)=p^2-6p+10.$$
Это квадратный трехчлен, его минимум достигается при
$$p=\frac{6}{2}=3.$$
б) $$x^2-(p-3)x+2p-10=0$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=p-3,\qquad x_1x_2=2p-10.$$
Сумма квадратов корней:
$$S=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(p-3)^2-2(2p-10)=p^2-10p+29.$$
Минимум этого выражения достигается при
$$p=\frac{10}{2}=5.$$
Проверим, что данные функции являются первообразными:
а) $$F(x)=e^{2x},\qquad F'(x)=2e^{2x}=f(x).$$
б) $$F(x)=3\ln x,\qquad F'(x)=3\cdot \frac{1}{x}=\frac{3}{x}=f(x).$$
в) $$F(x)=2^{x+1},\qquad F'(x)=2^{x+1}\ln 2=f(x).$$
г) $$F(x)=\frac{1}{6}e^{6x},\qquad F'(x)=\frac{1}{6}\cdot 6e^{6x}=e^{6x}=f(x).$$
д) $$F(x)=\ln(5x),\qquad F'(x)=\frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{1}{x}=f(x).$$
е) $$F(x)=\frac{5^{2x-1}}{\ln 5},\qquad F'(x)=\frac{5^{2x-1}\cdot 2\ln 5}{\ln 5}=2\cdot 5^{2x-1}=f(x).$$
Ответ
а) $$3$$; б) $$5$$; а), б), в), г), д), е) — да, являются первообразными.
