Упр.20.38 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) sin(x)-2cos(2x)+sin(5x)=0;
б) cos(5x)-sin(5x)=sin(7x)-cos(7x);
в) sin(x)-cos(x)=v(1,5);
г) cos(5x)+cos(x)+2cos(3x)=0;
д) cos(9x)+cos(3x)=cos(x)+cos(7x);
е) cos(x)+v3sin(x)-v2=0.

1. а)

   $$\sin x-2\cos 2x+\sin 5x=0$$
   $$\sin x+\sin 5x-2\cos 2x=0$$
   $$2\sin 3x\cos 2x-2\cos 2x=0$$
   $$2\cos 2x(\sin 3x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=1.$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};$$
   $$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$

2. б)

   $$\cos 5x-\sin 5x=\sin 7x-\cos 7x$$
   $$\cos 5x+\cos 7x=\sin 5x+\sin 7x$$
   $$2\cos 6x\cos x=2\sin 6x\cos x$$
   $$2\cos x(\cos 6x-\sin 6x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 6x-\sin 6x=0.$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$
   $$\tan 6x=1 \Rightarrow 6x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}.$$

3. в)

   $$\sin x-\cos x=\sqrt{1{,}5}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$
   $$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$
   $$\sin\frac{\pi}{4}\sin x-\cos\frac{\pi}{4}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
   $$-\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

   $$x=-\frac{13\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{12}+2\pi n.$$

4. г)

   $$\cos 5x+\cos x+2\cos 3x=0$$
   $$2\cos 3x\cos 2x+2\cos 3x=0$$
   $$2\cos 3x(\cos 2x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-1.$$

   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3};$$
   $$2x=\pi+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

5. д)

   $$\cos 9x+\cos 3x=\cos x+\cos 7x$$
   $$2\cos 6x\cos 3x=2\cos 4x\cos 3x$$
   $$2\cos 3x(\cos 6x-\cos 4x)=0$$
   $$2\cos 3x\cdot(-2)\sin 5x\sin x=0$$

   Отсюда:

   $$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}; \quad x=\frac{\pi n}{5}; \quad x=\pi n.$$

6. е)

   $$\cos x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{2}=0$$
   $$\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$$
   $$\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
   $$\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

   $$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{12}+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}; \ \ x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n; \ \ x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}.$$
в) $$x=-\frac{13\pi}{12}+2\pi n; \ \ x=\frac{7\pi}{12}+2\pi n.$$
г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}; \ \ x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
д) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}; \ \ x=\frac{\pi n}{5}; \ \ x=\pi n.$$
е) $$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n; \ \ x=\frac{7\pi}{12}+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb{Z}.$$