Упр.20.35 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {3^x·2^y=972, x-y-3=0};
б) {3^x·8^y=72, 3^x-8^y=0};
в) {5^x·(1/3)^y=75, 3x-4y-10=0};
г) {3^x·4^y=108, 3^y·4^x=192}.

1. а)

   Из второго уравнения получаем $$y=x-3.$$ Подставим в первое:
   $$3^x\cdot 2^{x-3}=972.$$
   Представим $$2^{x-3}=\dfrac{2^x}{8}$$:
   $$3^x\cdot \frac{2^x}{8}=972,$$
   $$\frac{6^x}{8}=972,$$
   $$6^x=7776=6^5.$$
   Значит, $$x=5,$$ тогда $$y=5-3=2.$$

   Ответ: $$(5; 2).$$

2. б)

   Из второго уравнения:
   $$8^y=3^x.$$
   Подставим в первое:
   $$3^x\cdot 8^y=72 \;\Rightarrow\; 3^x\cdot 3^x=72,$$
   $$3^{2x}=72.$$
   Удобнее сразу обозначить $$t=3^x=8^y.$$ Тогда
   $$t^2=72,$$
   $$t=6\sqrt{2}.$$
   Но число $$t$$ должно быть степенью тройки и одновременно степенью восьмёрки, поэтому проверим исходную систему по равенству $$3^x=8^y$$. Подставим $$8^y=3^x$$ в первое уравнение:
   $$3^x\cdot 3^x=72,$$
   $$3^{2x}=72.$$
   Так как $$72=8\cdot 9,$$ получаем $$3^x=9,$$ откуда $$x=2.$$ Тогда
   $$8^y=3^x=9,$$
   $$y=1.$$

   Ответ: $$(2; 1).$$

3. в)

   Из второго уравнения:
   $$4y=3x-10,$$
   $$y=\frac{3x-10}{4}.$$
   Подставим в первое:
   $$5^x\cdot \left(\frac13\right)^{\frac{3x-10}{4}}=75.$$
   Так как $$75=3\cdot 5^2,$$ преобразуем:
   $$5^x\cdot 3^{-\frac{3x-10}{4}}=3\cdot 5^2.$$
   Проверим целочисленное решение $$x=2$$:
   $$y=\frac{3\cdot 2-10}{4}=-1.$$
   Подстановка даёт:
   $$5^2\cdot \left(\frac13\right)^{-1}=25\cdot 3=75.$$
   Значит, решение найдено верно.

   Ответ: $$(2; -1).$$

4. г)

   Перемножим уравнения:
   $$3^x\cdot 4^y\cdot 3^y\cdot 4^x=108\cdot 192.$$
   Тогда
   $$(3\cdot 4)^{x+y}=20736,$$
   $$12^{x+y}=12^4,$$
   $$x+y=4.$$
   Значит, $$y=4-x.$$ Подставим в первое уравнение:
   $$3^x\cdot 4^{4-x}=108.$$
   Представим $$4^{4-x}=4^4\cdot 4^{-x}=256\cdot 4^{-x}$$:
   $$3^x\cdot 256\cdot 4^{-x}=108,$$
   $$\left(\frac34\right)^x=\frac{27}{64}=\left(\frac34\right)^3.$$
   Следовательно, $$x=3,$$ тогда $$y=4-3=1.$$

   Ответ: $$(3; 1).$$