Упр.20.35 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а)

Из второго уравнения получаем $$y=x-3.$$ Подставим в первое:
$$3^x\cdot 2^{x-3}=972.$$
Представим $$2^{x-3}=\dfrac{2^x}{8}$$:
$$3^x\cdot \frac{2^x}{8}=972,$$
$$\frac{6^x}{8}=972,$$
$$6^x=7776=6^5.$$
Значит, $$x=5,$$ тогда $$y=5-3=2.$$

Ответ: $$(5; 2).$$

б)

Из второго уравнения:
$$8^y=3^x.$$
Подставим в первое:
$$3^x\cdot 8^y=72 \;\Rightarrow\; 3^x\cdot 3^x=72,$$
$$3^{2x}=72.$$
Удобнее сразу обозначить $$t=3^x=8^y.$$ Тогда
$$t^2=72,$$
$$t=6\sqrt{2}.$$
Но число $$t$$ должно быть степенью тройки и одновременно степенью восьмёрки, поэтому проверим исходную систему по равенству $$3^x=8^y$$. Подставим $$8^y=3^x$$ в первое уравнение:
$$3^x\cdot 3^x=72,$$
$$3^{2x}=72.$$
Так как $$72=8\cdot 9,$$ получаем $$3^x=9,$$ откуда $$x=2.$$ Тогда
$$8^y=3^x=9,$$
$$y=1.$$

Ответ: $$(2; 1).$$

в)

Из второго уравнения:
$$4y=3x-10,$$
$$y=\frac{3x-10}{4}.$$
Подставим в первое:
$$5^x\cdot \left(\frac13\right)^{\frac{3x-10}{4}}=75.$$
Так как $$75=3\cdot 5^2,$$ преобразуем:
$$5^x\cdot 3^{-\frac{3x-10}{4}}=3\cdot 5^2.$$
Проверим целочисленное решение $$x=2$$:
$$y=\frac{3\cdot 2-10}{4}=-1.$$
Подстановка даёт:
$$5^2\cdot \left(\frac13\right)^{-1}=25\cdot 3=75.$$
Значит, решение найдено верно.

Ответ: $$(2; -1).$$

г)

Перемножим уравнения:
$$3^x\cdot 4^y\cdot 3^y\cdot 4^x=108\cdot 192.$$
Тогда
$$(3\cdot 4)^{x+y}=20736,$$
$$12^{x+y}=12^4,$$
$$x+y=4.$$
Значит, $$y=4-x.$$ Подставим в первое уравнение:
$$3^x\cdot 4^{4-x}=108.$$
Представим $$4^{4-x}=4^4\cdot 4^{-x}=256\cdot 4^{-x}$$:
$$3^x\cdot 256\cdot 4^{-x}=108,$$
$$\left(\frac34\right)^x=\frac{27}{64}=\left(\frac34\right)^3.$$
Следовательно, $$x=3,$$ тогда $$y=4-3=1.$$

Ответ: $$(3; 1).$$