Упр.20.34 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: С корабля, стоящего в 9 км от берега на якоре, нужно послать матроса в лагерь, расположенный на берегу в 15 км от ближайшей к кораблю точки берега. Матрос сначала плывёт на лодке со скоростью 4 км/ч, потом идёт пешком со скоростью 5 км/ч. В какой точке он должен выйти на берег, чтобы прибыть в лагерь в кратчайший срок?

Пусть $$x$$ — расстояние от ближайшей к кораблю точки берега до места выхода матроса на берег в сторону лагеря. Тогда путь по воде равен $$\sqrt{x^2+9^2}=\sqrt{x^2+81}$$, а путь пешком — $$15-x$$.

Время в пути:

$$t(x)=\frac{\sqrt{x^2+81}}{4}+\frac{15-x}{5}, \qquad 0\le x\le 15.$$

Найдём минимум функции:

$$t'(x)=\frac{1}{4}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+81}}-\frac15.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{x}{4\sqrt{x^2+81}}=\frac15.$$

Отсюда

$$5x=4\sqrt{x^2+81}.$$

Возведём в квадрат:

$$25x^2=16(x^2+81),$$

$$25x^2=16x^2+1296,$$

$$9x^2=1296,$$

$$x^2=144,$$

$$x=12.$$

Так как $$0\le x\le 15$$, подходит значение $$x=12$$.

Тогда расстояние от места выхода до лагеря:

$$15-12=3.$$

Ответ

Матрос должен выйти на берег в $$3$$ км от лагеря.