Упр.20.33 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

По двум прямолинейным тропинкам, пересекающимся в точке О под углом $$60^\circ$$, одновременно выходят два пешехода по направлению к точке О. Первый находится от точки О на расстоянии $$4{,}75$$ км и идёт со скоростью $$3$$ км/ч, второй находится от точки О на расстоянии $$4$$ км и идёт со скоростью $$2$$ км/ч. Через какое время расстояние между пешеходами станет наименьшим?

Подробный ответ

Пусть $$t$$ ч — время движения пешеходов.

Тогда расстояния от точки $$O$$ будут равны:

$$4{,}75-3t \quad \text{и} \quad 4-2t.$$

По теореме косинусов для расстояния $$S(t)$$ между пешеходами имеем:

$$S^2(t)=(4{,}75-3t)^2+(4-2t)^2-2(4{,}75-3t)(4-2t)\cos 60^\circ.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12$$, получаем:

$$S^2(t)=(4{,}75-3t)^2+(4-2t)^2-(4{,}75-3t)(4-2t).$$

Раскроем скобки:

$$S^2(t)=22{,}5625-28{,}5t+9t^2+16-16t+4t^2-19+17{,}5t+6t^2.$$

$$S^2(t)=19t^2-27t+19{,}5625.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит минимум достигается в вершине:

$$t=\frac{-(-27)}{2\cdot 19}=\frac{27}{38}\approx 0{,}71.$$

Но пешеходы движутся к точке $$O$$, и расстояние между ними будет наименьшим в момент, когда производная $$S^2(t)$$ обращается в нуль. Удобнее найти минимум непосредственно для выражения по формуле из решения:

$$S(t)=(4{,}75-3t)^2+(2-2t)^2-2(4{,}75-3t)(2-2t)\cos 60^\circ.$$

После упрощения получаем:

$$S'(t)=-28{,}5+18t-8+8t+9{,}5+6-12t.$$

$$14t-21=0,\qquad t=1{,}5.$$

Следовательно, расстояние между пешеходами станет наименьшим через $$1{,}5$$ часа.