Упр.20.32 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Металлическая заготовка длиной $$1\ \text{м}$$ имеет форму усечённого конуса, диаметры оснований которого равны $$10\ \text{см}$$ и $$5\ \text{см}$$. Из неё следует изготовить стержень наибольшего объёма в виде прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Найдите размеры такого стержня.

Пусть $$2x$$ — длина стороны квадратного основания стержня, а $$y$$ — его высота.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Тогда на высоте $$y$$ ширина заготовки равна стороне квадрата основания стержня:

$$2x=\frac{10}{\frac{10}{2}-\frac{5}{2}}\left(\frac{10}{2}-\frac{\sqrt{4x^2+4x^2}}{2}\right).$$

Упростим:

$$2x=\frac{100}{5}\left(5-\frac{\sqrt{8x^2}}{2}\right),$$

$$2x=20\left(5-x\sqrt2\right),$$

$$y=40\left(5-x\sqrt2\right).$$

Объём стержня:

$$V(x)=y\cdot 2x\cdot 2x=y(2x)^2,$$

$$V(x)=40\left(5-x\sqrt2\right)\cdot 4x^2,$$

$$V(x)=160x^2\left(5-x\sqrt2\right).$$

Найдём максимум функции:

$$V'(x)=160\left(2x(5-x\sqrt2)-x^2\sqrt2\right).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2x(5-x\sqrt2)-x^2\sqrt2=0,$$

$$10x-2x^2\sqrt2-x^2\sqrt2=0,$$

$$10x-3x^2\sqrt2=0,$$

$$x(10-3x\sqrt2)=0.$$

Так как $$x>0$$, получаем

$$x=\frac{10}{3\sqrt2}.$$

Тогда

$$2x=\frac{10\sqrt2}{3},$$

$$y=40\left(5-\frac{10}{3\sqrt2}\cdot\sqrt2\right)=40\left(5-\frac{10}{3}\right)=40\cdot\frac53=\frac{200}{3}.$$

Значит, размеры стержня:

сторона квадратного основания $$\frac{10\sqrt2}{3}$$ см, высота $$\frac{200}{3}$$ см.

Ответ

$$\frac{10\sqrt2}{3}\text{ см} \times \frac{10\sqrt2}{3}\text{ см} \times \frac{200}{3}\text{ см}.$$