Упр.20.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиусом R.

а) Пусть r — радиус основания, h — высота конуса. Для конуса, описанного около шара радиуса R, из прямоугольного треугольника получаем:

$$\frac{h}{r}=\frac{\sqrt{(h-R)^2-R^2}}{R}.$$

Тогда

$$\frac{h^2}{r^2}=\frac{(h^2-2hR+R^2)-R^2}{R^2},$$

откуда

$$\frac{h^2}{r^2}=\frac{h^2-2hR}{R^2}, \qquad r^2=\frac{R^2h}{h-2R}.$$

Объём конуса:

$$V(h)=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi R^2\cdot \frac{h^2}{h-2R}.$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac{\pi R^2}{3}\cdot \frac{2h(h-2R)-h^2}{(h-2R)^2}\ge 0.$$

Отсюда

$$2h^2-4hR-h^2\ge 0,$$

$$h^2-4hR\ge 0,$$

$$h(h-4R)\ge 0.$$

Так как h > 0, то получаем h ≥ 4R. Минимальный объём достигается при

$$h=4R.$$

б) Для конуса, вписанного в шар радиуса R, имеем:

$$r^2=R^2-(h-R)^2=2Rh-h^2.$$

Тогда объём

$$V(h)=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(2Rh^2-h^3).$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac13\pi(4Rh-3h^2)\ge 0.$$

Следовательно,

$$h(4R-3h)\ge 0,$$

откуда при h ≥ 0 получаем

$$0\le h\le \frac{4R}{3}.$$

Максимальный объём достигается при

$$h=\frac{4R}{3}.$$

Ответ

а) $$4R$$; б) $$\frac{4R}{3}$$.