Упр.20.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Требуется изготовить коническую воронку с образующей 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

Пусть $$x$$ — радиус основания воронки, $$y$$ — её высота. Тогда образующая равна $$20$$ см, значит

$$x^2+y^2=20^2=400,$$

откуда

$$y=\sqrt{400-x^2}.$$

Объём конуса:

$$V(x)=\frac13\pi x^2y=\frac13\pi x^2\sqrt{400-x^2}.$$

Найдём максимум этой функции. Достаточно рассмотреть производную:

$$V'(x)=\frac{\pi}{3}\left(2x\sqrt{400-x^2}-\frac{x^3}{\sqrt{400-x^2}}\right).$$

Приравниваем к нулю:

$$2x\sqrt{400-x^2}-\frac{x^3}{\sqrt{400-x^2}}=0.$$

Умножим на $$\sqrt{400-x^2}$$:

$$2x(400-x^2)-x^3=0,$$

$$800x-3x^3=0,$$

$$x(800-3x^2)=0.$$

Так как $$x>0$$, получаем

$$x^2=\frac{800}{3}.$$

Тогда высота воронки:

$$y=\sqrt{400-\frac{800}{3}}=\sqrt{\frac{400}{3}}=\frac{20\sqrt3}{3}.$$

Следовательно, при таком значении высоты объём воронки наибольший.

Ответ

$$\frac{20\sqrt3}{3}\text{ см}$$