Упр.20.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Открытый металлический чан имеет форму цилиндра, объём которого равен $$8?$$. Каковы должны быть радиус основания и высота чана, чтобы на его изготовление потребовалось как можно меньше металла?

Пусть $$x$$ — радиус основания чана, а $$y$$ — его высота. Тогда по условию объём цилиндра равен $$8\pi$$:

$$V=\pi x^2y=8\pi,$$

откуда

$$y=\frac{8}{x^2}.$$

Площадь металла, необходимого для изготовления открытого цилиндра, равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

$$S(x)=2\pi xy+\pi x^2.$$

Подставим выражение для $$y$$:

$$S(x)=2\pi x\cdot \frac{8}{x^2}+\pi x^2=\frac{16\pi}{x}+\pi x^2.$$

Найдём минимум этой функции:

$$S'(x)=-\frac{16\pi}{x^2}+2\pi x=\pi\left(2x-\frac{16}{x^2}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$2x-\frac{16}{x^2}=0,$$

$$2x^3-16=0,$$

$$x^3=8,$$

$$x=2.$$

Тогда

$$y=\frac{8}{2^2}=2.$$

Следовательно, при таких размерах площадь металла будет наименьшей.

Ответ

$$2$$ и $$2$$.