Упр.20.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиусом $$10\ \text{см}$$.

Пусть $$x$$ — диаметр основания цилиндра, а $$y$$ — его высота. Тогда по теореме Пифагора для радиуса шара получаем:

$$\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=10^2,$$

откуда

$$x^2+y^2=400,$$

$$y=\sqrt{400-x^2}.$$

Объём цилиндра:

$$V(x)=\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2y=\frac{\pi x^2}{4}\sqrt{400-x^2}.$$

Найдём максимум функции $$V(x)$$. Для этого достаточно рассмотреть производную:

$$V'(x)=\frac{\pi}{4}\left(2x\sqrt{400-x^2}-\frac{x^3}{\sqrt{400-x^2}}\right).$$

Приравниваем её к нулю:

$$2x\sqrt{400-x^2}-\frac{x^3}{\sqrt{400-x^2}}=0,$$

$$2x(400-x^2)-x^3=0,$$

$$800x-3x^3=0,$$

$$x(800-3x^2)=0.$$

Так как $$x>0$$, то

$$x^2=\frac{800}{3}.$$

Тогда высота цилиндра равна

$$y=\sqrt{400-\frac{800}{3}}=\sqrt{\frac{400}{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

$$\frac{20\sqrt{3}}{3}\text{ см}$$