Упр.20.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Периметр осевого сечения цилиндра 6 см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объём был наибольшим?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ — диаметр основания цилиндра, а $$y$$ — его высота. Тогда осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$x$$ и $$y$$, поэтому

$$2x+2y=6,$$

откуда

$$y=3-x.$$

Объём цилиндра равен

$$V=\pi r^2y=\pi\left(\frac{x}{2}\right)^2(3-x)=\frac{\pi}{4}x^2(3-x).$$

Рассмотрим функцию

$$V(x)=\frac{\pi}{4}(3x^2-x^3), \qquad 0<x<3.$$

Найдём производную:

$$V'(x)=\frac{\pi}{4}(6x-3x^2)=\frac{3\pi}{4}x(2-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$. На промежутке $$0<x<3$$ максимум достигается при $$x=2$$.