Упр.20.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна $$8\text{ см}$$. При какой высоте пирамиды её объём будет наибольшим?

Пусть $$x$$ — длина стороны основания пирамиды, а $$y$$ — её высота. Тогда из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой и половиной стороны основания, получаем:

$$y=\sqrt{8^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}.$$

Объём пирамиды:

$$V(x)=\frac13 x^2y=\frac13 x^2\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}.$$

Найдём, при каком $$x$$ объём максимален. Достаточно исследовать функцию

$$V(x)=\frac13 x^2\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}.$$

Производная:

$$V'(x)=\frac{2x}{3}\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}+\frac{x^2}{3}\cdot\frac{-\frac12 x}{2\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}}.$$

После упрощения:

$$V'(x)\ge 0 \iff 8x\left(64-\frac{x^2}{4}\right)-x^3\ge 0$$

$$512x-3x^3\ge 0$$

$$x(512-3x^2)\ge 0.$$

Так как $$x>0$$, то

$$512-3x^2\ge 0,\qquad x^2\le \frac{512}{3}.$$

Следовательно, максимум объёма достигается при

$$x=\sqrt{\frac{512}{3}}=\frac{16\sqrt6}{3}.$$

Тогда высота пирамиды равна

$$y=\sqrt{64-\frac{x^2}{4}}=\sqrt{64-\frac{512}{12}} =\sqrt{64-\frac{128}{3}} =\sqrt{\frac{64}{3}} =\frac{8\sqrt3}{3}.$$

Ответ

$$\frac{8\sqrt3}{3}\text{ см}$$