Упр.20.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: В основании пирамиды MABCD, объём которой равен 9, лежит квадрат ABCD. Ребро МВ перпендикулярно плоскости основания. Какое наименьшее значение при этих условиях может иметь длина ребра MD?

Пусть $$x$$ — длина стороны квадрата основания, а $$y$$ — высота пирамиды, то есть $$MB=y$$.

По условию объём пирамиды равен $$9$$, значит

$$\frac13 x^2y=9,$$

откуда

$$y=\frac{27}{x^2}.$$

Найдём длину ребра $$MD$$. Так как основание — квадрат, то диагональ

$$BD=x\sqrt2.$$

Поскольку $$MB \perp (ABCD)$$, треугольник $$MBD$$ прямоугольный, и

$$MD=\sqrt{MB^2+BD^2}=\sqrt{y^2+2x^2}.$$

Подставим $$y=\frac{27}{x^2}$$:

$$MD=\sqrt{2x^2+\frac{729}{x^4}}.$$

Обозначим

$$f(x)=2x^2+\frac{729}{x^4}, \quad x>0.$$

Тогда

$$f'(x)=4x-\frac{2916}{x^5}.$$

Найдём критическую точку:

$$4x-\frac{2916}{x^5}=0$$

$$4x^6=2916$$

$$x^6=729$$

$$x=3.$$

При $$x=3$$ получаем минимальное значение:

$$MD=\sqrt{2\cdot 3^2+\frac{729}{3^4}}=\sqrt{18+\frac{729}{81}}=\sqrt{18+9}=\sqrt{27}=3\sqrt3.$$

Ответ

$$3\sqrt3$$