Упр.20.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: При каких размерах прямоугольный параллелепипед объёмом 8 м^3 с квадратным основанием имеет наименьшую площадь поверхности?

Пусть сторона квадратного основания равна $$x$$ м, а высота параллелепипеда — $$y$$ м. Тогда по условию объём равен

$$x^2y=8,$$

откуда

$$y=\frac{8}{x^2}.$$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием:

$$S=2x^2+4xy.$$

Подставим $$y=\frac{8}{x^2}$$:

$$S(x)=2x^2+4x\cdot \frac{8}{x^2}=2x^2+\frac{32}{x}, \qquad x>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(x)=4x-\frac{32}{x^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$4x-\frac{32}{x^2}=0,$$

$$4x^3-32=0,$$

$$x^3=8,$$

$$x=2.$$

Тогда

$$y=\frac{8}{2^2}=2.$$

Значит, наименьшую площадь поверхности имеет параллелепипед с размерами $$2\text{ м} \times 2\text{ м} \times 2\text{ м}.$$

Ответ

$$2\text{ м} \times 2\text{ м} \times 2\text{ м}.$$