Упр.20.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и с диагональю OM, где O — начало координат, а M — точка на графике функции x = 3 — 4ln(0,2x — 1), 6 ? x ? 9,5.

Обозначим координаты точки на графике через $$M(x;y),$$ тогда

$$y=3-4\ln(0{,}2x-1), \qquad 6\le x\le 9{,}5.$$

Так как прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, имеет вершины $$O(0;0),\ A(x;0),\ B(0;y),\ M(x;y),$$ его периметр равен

$$P(x)=2x+2y=2x+2\bigl(3-4\ln(0{,}2x-1)\bigr).$$

Найдём, при каких $$x$$ функция $$P(x)$$ убывает или возрастает:

$$P'(x)=2+2\cdot\left(-4\cdot \frac{0{,}2}{0{,}2x-1}\right)=2-\frac{1{,}6}{0{,}2x-1}.$$

Решим неравенство $$P'(x)\ge 0$$:

$$2-\frac{1{,}6}{0{,}2x-1}\ge 0$$

$$1-\frac{0{,}8}{0{,}2x-1}\ge 0$$

$$\frac{0{,}8}{0{,}2x-1}\le 1.$$

Так как на заданном промежутке $$0{,}2x-1>0,$$ получаем

$$0{,}8\le 0{,}2x-1,$$

$$0{,}2x\ge 1{,}8,$$

$$x\ge 9.$$

Значит, на отрезке $$[6;9{,}5]$$ периметр убывает до $$x=9$$, а затем возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=9.$$

Тогда

$$y=3-4\ln(0{,}2\cdot 9-1)=3-4\ln 0{,}8,$$

и минимальный периметр равен

$$P_{\min}=2\cdot 9+2\bigl(3-4\ln 0{,}8\bigr)=24-8\ln 0{,}8.$$

Ответ

$$24-8\ln 0{,}8$$