Упр.20.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Найдите наименьшее значение площади треугольника OAB, где O — начало координат, A — точка на графике функции y = v(2x + sin 2x — 7sin x + 11), ?/9 ? x ? 4?/7, а B — точка на оси Ox, абсцисса которой равна удвоенной ординате точки A.

Подробный ответ

Обозначим координаты точки A как $$A(x;y),$$ тогда из условия

$$y=\sqrt{2x+\sin 2x-7\sin x+11}.$$

Точка B лежит на оси $$Ox$$, а её абсцисса равна удвоенной ординате точки A, значит

$$B(2y;0).$$

Площадь треугольника $$OAB$$ равна

$$S=\frac12\cdot OA_y\cdot OB_x=\frac12\cdot y\cdot 2y=y^2.$$

Следовательно, нужно найти минимум функции

$$S(x)=2x+\sin 2x-7\sin x+11,$$

где $$\frac{\pi}{9}\le x\le \frac{4\pi}{7}.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=2+2\cos 2x-7\cos x.$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$S'(x)=2+2(2\cos^2 x-1)-7\cos x=4\cos^2 x-7\cos x.$$

Тогда

$$S'(x)=\cos x(4\cos x-7).$$

На отрезке $$\frac{\pi}{9}\le x\le \frac{4\pi}{7}$$ имеем $$\cos x\le 1,$$ поэтому $$4\cos x-7<0.$$ Значит, знак производной определяется знаком $$\cos x$$, и минимум достигается при наибольшем значении $$x$$, то есть при

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

Вычислим площадь:

$$S\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot \frac{\pi}{2}+\sin \pi-7\sin \frac{\pi}{2}+11.$$

$$S\left(\frac{\pi}{2}\right)=\pi+0-7\cdot 1+11=\pi+4.$$