Упр.20.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее значение площади треугольника $$OBC$$, где $$O$$ — начало координат, $$B$$ — точка на графике функции $$y=\frac{5}{x}+64x^5e^{6-4x}$$, $$0{,}7\leq x\leq 2$$, а $$C$$ — точка на оси $$Ox$$, абсцисса которой равна абсциссе точки $$B$$.

Пусть $$B(x;y)$$ — точка графика функции $$y=\frac{5}{x}+64x^5e^{6-4x}, \quad 0{,}7\le x\le 2.$$ Тогда точка $$C$$ имеет координаты $$C(x;0)$$, а треугольник $$OBC$$ прямоугольный, поэтому его площадь равна

$$S(x)=\frac12\cdot x\cdot y=\frac12\cdot x\left(\frac{5}{x}+64x^5e^{6-4x}\right).$$

Упростим:

$$S(x)=\frac{5+64x^6e^{6-4x}}{2}=\frac52+32x^6e^{6-4x}.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=32\left(6x^5e^{6-4x}-4x^6e^{6-4x}\right)=32x^5e^{6-4x}(6-4x).$$

Так как $$32x^5e^{6-4x}>0$$ при $$x>0$$, знак производной определяется множителем $$6-4x$$. Следовательно,

$$S'(x)>0 \text{ при } x<1{,}5,\qquad S'(x)<0 \text{ при } x>1{,}5.$$

Значит, наибольшее значение площади достигается при $$x=1{,}5.$$

Вычислим:

$$S(1{,}5)=\frac52+32\cdot\left(\frac32\right)^6\cdot e^{6-4\cdot1{,}5}.$$

Так как $$e^{6-6}=1,$$ получаем

$$S(1{,}5)=\frac52+32\cdot\frac{729}{64}=\frac52+\frac{729}{2}=367.$$

Ответ

$$367$$