Упр.20.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) В фигуру, ограниченную параболой $$y=a^2-x^2$$ и осью абсцисс, вписан равнобедренный треугольник так, что его основание параллельно оси абсцисс, а вершина служит началом координат. Какова наибольшая площадь такого треугольника?
б) В фигуру, ограниченную параболами $$y=a^2-x^2$$ и $$y=x^2$$ и осью абсцисс, вписан прямоугольник так, что его стороны параллельны осям координат. Какова наибольшая площадь такого прямоугольника?

Подробный ответ

а) Пусть вершины равнобедренного треугольника имеют координаты $$\left(-x,\;a^2-x^2\right),\ \left(x,\;a^2-x^2\right),\ (0,0).$$

Тогда его основание равно $$2x,$$ а высота — $$a^2-x^2.$$ Следовательно, площадь

$$S(x)=\frac12\cdot 2x\cdot (a^2-x^2)=x(a^2-x^2)=a^2x-x^3.$$

Найдём максимум функции:

$$S'(x)=a^2-3x^2.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$a^2-3x^2=0,\qquad x^2=\frac{a^2}{3},\qquad x=\frac{a}{\sqrt3}.$$

Тогда

$$S_{\max}=S\!\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)=\frac{a}{\sqrt3}\left(a^2-\frac{a^2}{3}\right)=\frac{2a^3\sqrt3}{9}.$$

б) Пусть верхние вершины прямоугольника имеют координаты $$\left(-x,\;a^2-x^2\right)$$ и $$\left(x,\;a^2-x^2\right).$$

Так как прямоугольник вписан в фигуру, ограниченную параболами $$y=a^2-x^2$$ и $$y=x^2,$$ его нижняя сторона лежит на оси абсцисс, а верхняя — на уровне $$y=x^2.$$ Тогда высота прямоугольника равна $$x^2,$$ а ширина — $$2x.$$

Площадь:

$$S(x)=2x\bigl((a^2-x^2)-x^2\bigr)=2x(a^2-2x^2)=2a^2x-4x^3.$$

Найдём максимум:

$$S'(x)=2a^2-12x^2.$$

Приравниваем к нулю:

$$2a^2-12x^2=0,\qquad x^2=\frac{a^2}{6},\qquad x=\frac{a}{\sqrt6}.$$

Тогда

$$S_{\max}=S\!\left(\frac{a}{\sqrt6}\right)=2\cdot \frac{a}{\sqrt6}\left(a^2-2\cdot \frac{a^2}{6}\right)=\frac{2a^3\sqrt6}{9}.$$