Упр.20.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Число 16 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Установите, что функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x):
а) F(x)=2+3x^2, f(x)=6x;
б) F(x)=x^3-x^4, f(x)=3x^2-4x^3;
в) F(x)=2vx-3x, f(x)=1/vx-3;
г) F(x)=5x-2x^4, f(x)=5-8x^3;
д) F(x)=x^5+x^2, f(x)=5x^4+2x;
е) F(x)=x^(1/3)+x, f(x)=1/(3x^(2/3))+1.

а) Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые числа. Тогда

$$x+y=60,\quad y=60-x.$$

Произведение равно

$$M(x)=xy=x(60-x)=60x-x^2.$$

Найдём максимум функции:

$$M'(x)=60-2x.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$60-2x=0,\quad x=30.$$

Тогда

$$y=60-30=30.$$

Значит, наибольшее произведение получается при разложении числа 60 на $$30+30$$.

б) Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые числа. Тогда

$$x+y=16,\quad y=16-x.$$

Сумма квадратов равна

$$S(x)=x^2+y^2=x^2+(16-x)^2.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(x)=2x-2(16-x)=4x-32.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$4x-32=0,\quad x=8.$$

Тогда

$$y=16-8=8.$$

Значит, наименьшая сумма квадратов получается при разложении числа 16 на $$8+8$$.

Проверим, что $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, то есть $$F'(x)=f(x)$$.

а) $$F(x)=2+3x^2$$, $$f(x)=6x$$

$$F'(x)=6x=f(x).$$

б) $$F(x)=x^3-x^4$$, $$f(x)=3x^2-4x^3$$

$$F'(x)=3x^2-4x^3=f(x).$$

в) $$F(x)=2\sqrt{x}-3x$$, $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-3$$

$$F'(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}}-3=\frac{1}{\sqrt{x}}-3=f(x).$$

г) $$F(x)=5x-2x^4$$, $$f(x)=5-8x^3$$

$$F'(x)=5-8x^3=f(x).$$

д) $$F(x)=x^5+x^2$$, $$f(x)=5x^4+2x$$

$$F'(x)=5x^4+2x=f(x).$$

е) $$F(x)=x^{1/3}+x$$, $$f(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}+1$$

$$F'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}+1=f(x).$$

Ответ

а) $$30+30$$; б) $$8+8$$; а)–е) во всех случаях $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.