Упр.20.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (2; 0,25), для которой отрезок, заключённый между положительными полуосями координат, имеет наименьшую длину.

а) Пусть искомая прямая имеет вид $$y=kx+b.$$

Так как она проходит через точку $$\left(1;2\right),$$ то

$$2=k+b,\qquad b=2-k.$$

Следовательно,

$$y=kx+2-k.$$

Найдём точки пересечения с осями:

с осью $$Ox$$:

$$kx+2-k=0,\qquad x=1-\frac{2}{k};$$

с осью $$Oy$$:

$$y(0)=2-k.$$

Площадь треугольника, отсекаемого прямой от положительных полуосей координат, равна

$$S=\frac12\left(1-\frac{2}{k}\right)(2-k)=2-\frac{k}{2}-\frac{2}{k}.$$

Для положительных отрезков нужно $$k<0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(k)=-\frac12+\frac{2}{k^2}.$$

Приравниваем к нулю:

$$-\frac12+\frac{2}{k^2}=0,\qquad k^2=4,\qquad k=\pm 2.$$

С учётом условия $$k<0$$ получаем $$k=-2.$$ Тогда

$$b=2-(-2)=4.$$

Искомая прямая:

$$y=4-2x.$$

б) Пусть искомая прямая имеет вид $$y=kx+b.$$

Так как она проходит через точку $$\left(2;\frac14\right),$$ то

$$\frac14=2k+b,\qquad b=\frac14-2k.$$

Следовательно,

$$y=kx+\frac14-2k.$$

Найдём отрезок, заключённый между положительными полуосями координат:

с осью $$Ox$$:

$$kx+\frac14-2k=0,\qquad x=2-\frac{1}{4k};$$

с осью $$Oy$$:

$$y(0)=\frac14-2k.$$

Длина этого отрезка:

$$l=\sqrt{\left(2-\frac{1}{4k}\right)^2+\left(\frac14-2k\right)^2}.$$

Минимизируем квадрат длины:

$$l^2=4k^2+\frac{1}{16k^2}-k-\frac{1}{k}+\frac{65}{16}.$$

Тогда

$$\left(l^2\right)’=8k-\frac{1}{8k^3}-1+\frac{1}{k^2}.$$

После преобразований получаем

$$\left(8k-1\right)\left(8k^3+1\right)\le 0,$$

откуда при нужном знаке коэффициента

$$k=-\frac12.$$

Тогда

$$b=\frac14-2\left(-\frac12\right)=\frac54.$$

Искомая прямая:

$$y=\frac54-\frac12x.$$

Ответ

а) $$y=4-2x$$;

б) $$y=\frac54-\frac12x.$$