Упр.20.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Через точку (1; 4) проведена прямая так, что произведение длин отрезков, отсекаемых ею на положительных полуосях координат, оказалось наименьшим из возможных. Составьте уравнение этой прямой.

а) Пусть искомая прямая имеет вид $$y=kx+b.$$

Так как она проходит через точку $$ (1;4), $$ то

$$4=k+b,\qquad b=4-k.$$

Следовательно, уравнение прямой:

$$y=kx+4-k.$$

Найдём отрезки, отсекаемые этой прямой на положительных полуосях координат.

При $$y=0$$ получаем

$$kx+4-k=0,\qquad x=1-\frac{4}{k}.$$

При $$x=0$$ имеем

$$y=4-k.$$

Сумма этих отрезков равна

$$S=1-\frac{4}{k}+4-k=5-\frac{4}{k}-k.$$

Минимизируем $$S$$ при условии, что оба отрезка положительны. Для этого

$$S'(k)=\frac{4}{k^2}-1.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{4}{k^2}-1=0,\qquad k^2=4,\qquad k=\pm 2.$$

Так как отрезки должны быть положительными, подходит $$k=-2.$$ Тогда

$$b=4-(-2)=6.$$

Искомая прямая:

$$y=6-2x.$$

б) Снова пусть

$$y=kx+b,\qquad 4=k+b,\qquad b=4-k,$$

то есть

$$y=kx+4-k.$$

Отрезки на осях равны:

$$x=1-\frac{4}{k},\qquad y=4-k.$$

Их произведение:

$$P=\left(1-\frac{4}{k}\right)(4-k)=8-k-\frac{16}{k}.$$

Найдём минимум:

$$P'(k)=-1+\frac{16}{k^2}.$$

Приравниваем к нулю:

$$-1+\frac{16}{k^2}=0,\qquad k^2=16,\qquad k=\pm 4.$$

Из условия положительности отрезков подходит $$k=-4.$$ Тогда

$$b=4-(-4)=8.$$

Искомая прямая:

$$y=8-4x.$$

Ответ

а) $$y=6-2x$$; б) $$y=8-4x$$.