Упр.20.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y = vx, M(4,5; 0); б) y = x^2, K(2; 0,5).

а) Для точки графика $$y=\sqrt{x}$$ возьмём координаты $$\bigl(x;\sqrt{x}\bigr)$$, где $$x\ge 0$$. Тогда расстояние до точки $$M(4{,}5;0)$$ равно

$$ l(x)=\sqrt{(x-4{,}5)^2+(\sqrt{x})^2} =\sqrt{(x-4{,}5)^2+x}. $$

Чтобы найти ближайшую точку, достаточно минимизировать квадрат расстояния:

$$ f(x)=l^2(x)=(x-4{,}5)^2+x=x^2-8x+20{,}25. $$

Это парабола, ветви направлены вверх, значит минимум достигается в вершине:

$$ x=\frac{8}{2}=4. $$

Тогда

$$ y=\sqrt{4}=2. $$

Ближайшая точка: $$\,(4;2).$$

б) Для точки графика $$y=x^2$$ возьмём координаты $$\bigl(x;x^2\bigr)$$. Расстояние до точки $$K(2;0{,}5)$$ равно

$$ l(x)=\sqrt{(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2}. $$

Минимизируем квадрат расстояния:

$$ f(x)=l^2(x)=(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ f(x)=x^2-4x+4+x^4-x^2+0{,}25=x^4-4x+4{,}25. $$

Найдём производную:

$$ f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1). $$

Приравниваем к нулю:

$$ x^3-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=1. $$

Тогда

$$ y=1^2=1. $$

Ближайшая точка: $$\,(1;1).$$

Ответ

а) $$ (4;2) $$; б) $$ (1;1) $$.