Упр.20.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. На графике заданной функции найдите точку, ближайшую к данной, если: а) $$y=vx$$, $$M(4,5; 0)$$; б) $$y=x^2$$, $$K(2; 0,5)$$.

а) Для точки графика $$y=\sqrt{x}$$ возьмём координаты $$\bigl(x;\sqrt{x}\bigr)$$, где $$x\ge 0$$. Тогда расстояние до точки $$M(4{,}5;0)$$ равно

$$l(x)=\sqrt{(x-4{,}5)^2+(\sqrt{x})^2} =\sqrt{(x-4{,}5)^2+x}.$$

Чтобы найти ближайшую точку, достаточно минимизировать квадрат расстояния:

$$f(x)=l^2(x)=(x-4{,}5)^2+x=x^2-8x+20{,}25.$$

Это парабола, ветви направлены вверх, значит минимум достигается в вершине:

$$x=\frac{8}{2}=4.$$

Тогда

$$y=\sqrt{4}=2.$$

Ближайшая точка: $$\,(4;2).$$

б) Для точки графика $$y=x^2$$ возьмём координаты $$\bigl(x;x^2\bigr)$$. Расстояние до точки $$K(2;0{,}5)$$ равно

$$l(x)=\sqrt{(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2}.$$

Минимизируем квадрат расстояния:

$$f(x)=l^2(x)=(x-2)^2+(x^2-0{,}5)^2.$$

Раскроем скобки:

$$f(x)=x^2-4x+4+x^4-x^2+0{,}25=x^4-4x+4{,}25.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1).$$

Приравниваем к нулю:

$$x^3-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

Тогда

$$y=1^2=1.$$

Ближайшая точка: $$\,(1;1).$$

Ответ

а) $$(4;2)$$; б) $$(1;1)$$.