Упр.20.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- а) На прямой $$4x+3y+25=0$$ найдите точку, ближайшую к началу координат.
б) На оси абсцисс найдите точку, сумма расстояний от которой до точек $$(0;3)$$ и $$(4;5)$$ наименьшая. - а) В некотором городе проживают $$250\,000$$ человек, $$15\%$$ которых — дети и подростки в возрасте до $$18$$ лет, остальные — взрослые. Среди взрослых $$30\%$$ — неработающее население (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых работает?
б) В школе $$600$$ учащихся, $$30\%$$ которых — учащиеся начальной школы. Немецкий язык изучают $$15\%$$ учащихся 5—11-х классов. Сколько учащихся 5—11-х классов изучают немецкий язык?
Точка, ближайшая к началу координат на прямой $$4x+3y+25=0,$$ — это основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую.
У прямой $$4x+3y+25=0$$ угловой коэффициент равен $$-\frac{4}{3},$$ значит, у перпендикуляра он равен $$\frac{3}{4}.$$
Уравнение перпендикуляра, проходящего через начало координат:
$$y=\frac{3}{4}x.$$
Найдём точку пересечения:
$$4x+3\cdot \frac{3}{4}x+25=0$$
$$16x+9x+100=0$$
$$25x=-100,\quad x=-4.$$Тогда
$$y=\frac{3}{4}\cdot(-4)=-3.$$
Искомая точка: $$(-4;\,-3).$$
Пусть искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $$(x;0).$$ Тогда сумма расстояний до точек $$(0;3)$$ и $$(4;5)$$ равна
$$S(x)=\sqrt{x^2+3^2}+\sqrt{(x-4)^2+5^2} =\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(x-4)^2+25}.$$
Рассмотрим геометрический способ. Отразим точку $$(4;5)$$ относительно оси абсцисс. Получим точку $$(4;-5).$$ Тогда сумма
$$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(x-4)^2+25}$$
минимальна, когда точка $$(x;0)$$ лежит на прямой, соединяющей точки $$(0;3)$$ и $$(4;-5).$$
Найдём уравнение этой прямой. Её угловой коэффициент:
$$k=\frac{-5-3}{4-0}=-2.$$
Значит,
$$y=-2x+3.$$
На оси абсцисс $$y=0,$$ поэтому
$$0=-2x+3,\quad x=\frac{3}{2}.$$
Искомая точка: $$\left(\frac{3}{2};\,0\right).$$
Ответ
а) $$(-4;\,-3)$$; б) $$\left(\frac{3}{2};\,0\right).$$
