Упр.20.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) На оси абсцисс найдите точку, сумма расстояний от которой до точек (0; 3) и (4; 5) наименьшая. а) В некотором городе проживают 250 000 человек, 15% которых — дети и подростки в возрасте до 18 лет, остальные — взрослые. Среди взрослых 30 % — неработающее население (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых работает?
б) В школе 600 учащихся, 30% которых — учащиеся начальной школы. Немецкий язык изучают 15% учащихся 5—11-х классов. Сколько учащихся 5—11-х классов изучают немецкий язык?
Точка, ближайшая к началу координат на прямой $$4x+3y+25=0,$$ — это основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую.
У прямой $$4x+3y+25=0$$ угловой коэффициент равен $$-\frac{4}{3},$$ значит, у перпендикуляра он равен $$\frac{3}{4}.$$
Уравнение перпендикуляра, проходящего через начало координат:
$$y=\frac{3}{4}x.$$
Найдём точку пересечения:
$$ 4x+3\cdot \frac{3}{4}x+25=0 $$
$$ 16x+9x+100=0 $$
$$ 25x=-100,\quad x=-4. $$Тогда
$$y=\frac{3}{4}\cdot(-4)=-3.$$
Искомая точка: $$(-4;\,-3).$$
Пусть искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $$ (x;0). $$ Тогда сумма расстояний до точек $$ (0;3) $$ и $$ (4;5) $$ равна
$$ S(x)=\sqrt{x^2+3^2}+\sqrt{(x-4)^2+5^2} =\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(x-4)^2+25}. $$
Рассмотрим геометрический способ. Отразим точку $$ (4;5) $$ относительно оси абсцисс. Получим точку $$ (4;-5). $$ Тогда сумма
$$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(x-4)^2+25}$$
минимальна, когда точка $$ (x;0) $$ лежит на прямой, соединяющей точки $$ (0;3) $$ и $$ (4;-5). $$
Найдём уравнение этой прямой. Её угловой коэффициент:
$$ k=\frac{-5-3}{4-0}=-2. $$
Значит,
$$y=-2x+3.$$
На оси абсцисс $$y=0,$$ поэтому
$$ 0=-2x+3,\quad x=\frac{3}{2}. $$
Искомая точка: $$\left(\frac{3}{2};\,0\right).$$
Ответ
а) $$(-4;\,-3)$$; б) $$\left(\frac{3}{2};\,0\right).$$
