Упр.20.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=x^3+15x^2+14, [-10; 5];
б) y=e^(2x)-4e^x+5, [0; 1];
в) y=9tg(x)-9x, [-?/3; ?/4];
г) y=-x^3+12x^2+10, [-1; 8];
д) y=e^(2x)-6e^x-3, [0; 2ln(2)];
е) y=6x+6ctg(x)+?, [?/6; 3?/4].

Рассмотрим квадрат со стороной $8$ см. Обозначим $DM=DK=a$. Тогда

$$ CD=AD=8,\quad CM=8-a,\quad AK=8-a. $$

Так как $BP=BE=3$, то

$$ PE=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}. $$

Сторона $MK$ параллельна $PE$, а её длина равна

$$ MK=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}. $$

Высота трапеции равна расстоянию между прямыми $PE$ и $MK$:

$$ h=\frac{13-a}{\sqrt{2}}. $$

Тогда площадь трапеции

$$ S(a)=\frac{PE+MK}{2}\cdot h =\frac{3\sqrt{2}+a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{13-a}{\sqrt{2}} =\frac{(a+3)(13-a)}{2}. $$

Раскроем скобки:

$$ S(a)=\frac{-a^2+10a+39}{2}. $$

$$ S'(a)=\frac{10-2a}{2}=5-a. $$

Наибольшее значение площади достигается при $S'(a)=0$, то есть при $a=5$.

$$ S(5)=\frac{(5+3)(13-5)}{2}=\frac{8\cdot 8}{2}=32. $$

Следовательно, наибольшая площадь трапеции равна $32$ см$^2$.

Ответ

$32$ см$^2$