Упр.20.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
Сторона квадрата $$ABCD$$ равна $$8$$ см. На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ соответственно взяты точки $$P$$ и $$E$$ так, что $$BP=BE=3$$ см. На сторонах $$CD$$ и $$AD$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$ так, что получилась трапеция $$PEMK$$ наибольшей площади. Чему равна эта площадь? - Задание учебника 2022 года.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном отрезке:
а) $$y=x^3+15x^2+14,\quad [-10;5];$$
б) $$y=e^{2x}-4e^x+5,\quad [0;1];$$
в) $$y=9\operatorname{tg}(x)-9x,\quad [-?/3;?/4];$$
г) $$y=-x^3+12x^2+10,\quad [-1;8];$$
д) $$y=e^{2x}-6e^x-3,\quad [0;2\ln(2)];$$
е) $$y=6x+6\operatorname{ctg}(x)+?,\quad [?/6;3?/4].$$
Рассмотрим квадрат со стороной $$8$$ см. Обозначим $$DM=DK=a$$. Тогда
$$CD=AD=8,\quad CM=8-a,\quad AK=8-a.$$
Так как $$BP=BE=3$$, то
$$PE=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.$$
Сторона $$MK$$ параллельна $$PE$$, а её длина равна
$$MK=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$
Высота трапеции равна расстоянию между прямыми $$PE$$ и $$MK$$:
$$h=\frac{13-a}{\sqrt{2}}.$$
Тогда площадь трапеции
$$S(a)=\frac{PE+MK}{2}\cdot h =\frac{3\sqrt{2}+a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{13-a}{\sqrt{2}} =\frac{(a+3)(13-a)}{2}.$$
Раскроем скобки:
$$S(a)=\frac{-a^2+10a+39}{2}.$$
$$S'(a)=\frac{10-2a}{2}=5-a.$$
Наибольшее значение площади достигается при $$S'(a)=0$$, то есть при $$a=5$$.
$$S(5)=\frac{(5+3)(13-5)}{2}=\frac{8\cdot 8}{2}=32.$$
Следовательно, наибольшая площадь трапеции равна $$32$$ см$$^2$$.
Ответ
$$32$$ см$$^2$$
