Упр.20.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей? Найдите значения параметра P, при которых функция y=x^3-3px^2+48x-4 имеет ровно одну стационарную точку.

1) Пусть угол при основании трапеции равен $$\alpha.$$ Тогда площадь трапеции выражается формулой

$$S(\alpha)=\frac{15+15+2\cdot 15\cos\alpha}{2}\cdot 15\sin\alpha.$$

Упростим:

$$S(\alpha)=(15+15\cos\alpha)\cdot 15\sin\alpha=225\sin\alpha(1+\cos\alpha).$$

Найдём производную:

$$S'(\alpha)=225\cos\alpha(1+\cos\alpha)-225\sin^2\alpha.$$

Используем тождество $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$$:

$$S'(\alpha)=225\bigl(\cos\alpha+\cos^2\alpha-1+\cos^2\alpha\bigr)=225(2\cos^2\alpha+\cos\alpha-1).$$

Рассмотрим неравенство

$$2\cos^2\alpha+\cos\alpha-1\ge 0.$$

Положим $$y=\cos\alpha.$$ Тогда

$$2y^2+y-1\ge 0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$

Получаем

$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12.$$

Следовательно,

$$\cos\alpha\le -1 \quad \text{или} \quad \cos\alpha\ge \frac12.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то подходит только

$$\cos\alpha\ge \frac12 \quad \Rightarrow \quad 0<\alpha\le \frac{\pi}{3}.$$

Второе основание трапеции:

$$x=15+2\cdot 15\cos\alpha=15+30\cos\alpha.$$

При наибольшей площади берём $$\cos\alpha=\frac12,$$ тогда

$$x=15+30\cdot \frac12=30.$$

2) Дана функция

$$y=x^3-3px^2+48x-4.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3x^2-6px+48.$$

Стационарные точки существуют при решениях уравнения

$$3x^2-6px+48=0,$$

или

$$x^2-2px+16=0.$$

Чтобы функция имела ровно одну стационарную точку, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть

$$D=0.$$

Тогда

$$D=(-2p)^2-4\cdot 16=4p^2-64=0,$$

$$p^2=16,$$

$$p=\pm 4.$$

Ответ

1) $$30\text{ см}.$$ 2) $$p=-4,\ 4.$$