Упр.20.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса 10 см.
2. а) Найдите точку максимума функции $$y=e^{16-4x}(x-3)$$.
   б) Найдите точку минимума функции $$y=e^{5x-35}(x+7)$$.

Пусть у прямоугольника, вписанного в полуокружность радиуса $$10$$ см, половина основания равна $$x$$, а высота — $$y$$. Тогда по теореме Пифагора

$$x^2+y^2=100,\qquad y=\sqrt{100-x^2}.$$

Периметр прямоугольника:

$$P(x)=2\cdot 2x+2\sqrt{100-x^2}=4x+2\sqrt{100-x^2}.$$

Найдём максимум функции $$P(x)$$:

$$P'(x)=4+2\cdot \frac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}=4-\frac{2x}{\sqrt{100-x^2}}.$$

Для максимума нужно, чтобы $$P'(x)\ge 0$$:

$$4-\frac{2x}{\sqrt{100-x^2}}\ge 0$$

$$2\sqrt{100-x^2}\ge x$$

$$4(100-x^2)\ge x^2$$

$$400-4x^2\ge x^2$$

$$5x^2\le 400$$

$$x^2\le 80,\qquad x\le 4\sqrt{5}.$$

Тогда

$$2x=2\cdot 4\sqrt{5}=8\sqrt{5},$$

$$y=\sqrt{100-80}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$$

Значит, стороны прямоугольника равны $$8\sqrt{5}$$ см и $$2\sqrt{5}$$ см.

а) $$y=e^{16-4x}(x-3).$$

Найдём производную:

$$y’=-4e^{16-4x}(x-3)+e^{16-4x}=e^{16-4x}(13-4x).$$

Так как $$e^{16-4x}>0$$ при любых $$x$$, то знак производной определяется выражением $$13-4x$$. Максимум достигается при

$$13-4x=0,\qquad x=\frac{13}{4}=3{,}25.$$

б) $$y=e^{5x-35}(x+7).$$

Найдём производную:

$$y’=5e^{5x-35}(x+7)+e^{5x-35}=e^{5x-35}(5x+36).$$

Так как $$e^{5x-35}>0$$, то минимум достигается при

$$5x+36=0,\qquad x=-\frac{36}{5}=-7{,}2.$$

Ответ

Стороны прямоугольника: $$8\sqrt{5}$$ см и $$2\sqrt{5}$$ см; а) $$x_{\max}=3{,}25$$; б) $$x_{\min}=-7{,}2$$.