Упр.20.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершённого сверху полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?
2. Найдите неопределённый интеграл:
   а) $$\int \sin(x)\,dx$$;
   б) $$\int \cos(x)\,dx$$;
   в) $$\int \frac{1}{\cos^2(x)}\,dx$$;
   г) $$\int \frac{1}{\sin^2(x)}\,dx$$;
   д) $$\int e^x\,dx$$;
   е) $$\int 10^x\,dx$$.

Пусть $$x$$ — радиус полукруга, тогда ширина прямоугольника равна $$2x$$, а его высота обозначим через $$h$$.

По условию периметр сечения равен $$18$$ м:

$$2h+2x+\pi x=18.$$

Отсюда

$$h=\frac{18-2x-\pi x}{2}.$$

Площадь сечения:

$$S(x)=2x\cdot h+\frac12\pi x^2.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(x)=2x\cdot \frac{18-2x-\pi x}{2}+\frac12\pi x^2 =18x-2x^2-\pi x^2+\frac12\pi x^2.$$

Значит,

$$S(x)=18x-\left(2+\frac{\pi}{2}\right)x^2.$$

Это квадратичная функция, ветви направлены вниз, поэтому наибольшее значение достигается в вершине:

$$x=\frac{18}{2\left(2+\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{18}{4+\pi}.$$

Следовательно, при таком радиусе площадь сечения будет наибольшей.

Ответ

$$\frac{18}{\pi+4}\text{ м}$$

Найдём неопределённые интегралы:

1. $$\int \sin x\,dx=-\cos x+C.$$
2. $$\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$
3. $$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\int \sec^2 x\,dx=\tg x+C.$$
4. $$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=\int \csc^2 x\,dx=-\ctg x+C.$$
5. $$\int e^x\,dx=e^x+C.$$
6. $$\int 10^x\,dx=\frac{10^x}{\ln 10}+C.$$

Ответ

а) $$-\cos x+C$$; б) $$\sin x+C$$; в) $$\tg x+C$$; г) $$-\ctg x+C$$; д) $$e^x+C$$; е) $$\frac{10^x}{\ln 10}+C$$.