Упр.20.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) ?sin(x)dx; в) ?1/cos^2(x)dx; д) ?e^xdx;
б) ?cos(x)dx; г) ?1/sin^2(x)dx; е) ?10^xdx.

Пусть $$x$$ — радиус полукруга, тогда ширина прямоугольника равна $$2x$$, а его высота обозначим через $$h$$.

По условию периметр сечения равен $$18$$ м:

$$2h+2x+\pi x=18.$$

Отсюда

$$h=\frac{18-2x-\pi x}{2}.$$

Площадь сечения:

$$S(x)=2x\cdot h+\frac12\pi x^2.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$ S(x)=2x\cdot \frac{18-2x-\pi x}{2}+\frac12\pi x^2 =18x-2x^2-\pi x^2+\frac12\pi x^2. $$

Значит,

$$S(x)=18x-\left(2+\frac{\pi}{2}\right)x^2.$$

Это квадратичная функция, ветви направлены вниз, поэтому наибольшее значение достигается в вершине:

$$ x=\frac{18}{2\left(2+\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{18}{4+\pi}. $$

Следовательно, при таком радиусе площадь сечения будет наибольшей.

Ответ

$$\frac{18}{\pi+4}\text{ м}$$

Ход решения

Найдём неопределённые интегралы:

1. $$\int \sin x\,dx=-\cos x+C.$$
2. $$\int \cos x\,dx=\sin x+C.$$
3. $$\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\int \sec^2 x\,dx=\tg x+C.$$
4. $$\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=\int \csc^2 x\,dx=-\ctg x+C.$$
5. $$\int e^x\,dx=e^x+C.$$
6. $$\int 10^x\,dx=\frac{10^x}{\ln 10}+C.$$

Ответ

а) $$-\cos x+C$$; б) $$\sin x+C$$; в) $$\tg x+C$$; г) $$-\ctg x+C$$; д) $$e^x+C$$; е) $$\frac{10^x}{\ln 10}+C$$.