Упр.20.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) От прямоугольника отрезают угловой квадрат, сторона которого на 10 меньше меньшей стороны прямоугольника. Площадь полученного шестиугольника должна быть равна 700. Найдите наименьший периметр такого шестиугольника. Найдите неопределенный интеграл:
а) ?1dx; в) ?x^2dx; д) ?(1/x)dx;
б) ?xdx; г) ?x^3dx; е) ?vxdx.
а) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, а сторона отрезанного квадрата — $$x$$. По условию $$x=\frac14a$$, значит $$a=4x$$.
Площадь оставшейся фигуры:
$$ab-x^2=68.$$
Подставим $$a=4x$$:
$$4xb-x^2=68,$$
$$b=\frac{68+x^2}{4x}.$$
Периметр фигуры:
$$P=2a+2b=8x+\frac{68+x^2}{2x}.$$
Найдём минимум функции:
$$P'(x)=8+\frac{2x^2-(68+x^2)}{2x^2}=8+\frac{x^2-68}{2x^2}.$$
Приравниваем к нулю:
$$8+\frac{x^2-68}{2x^2}=0,$$
$$16x^2+x^2-68=0,$$
$$17x^2=68,$$
$$x^2=4,\quad x=2.$$
Тогда
$$P_{\min}=8\cdot 2+\frac{68+2^2}{2\cdot 2}=16+\frac{72}{4}=34.$$
б) Пусть сторона квадрата равна $$x$$, тогда меньшая сторона прямоугольника равна $$a=x+10$$.
По условию:
$$ab-x^2=700.$$
Следовательно,
$$ (x+10)b-x^2=700,$$
$$b=\frac{x^2+700}{x+10}.$$
Периметр фигуры:
$$P=2a+2b=2x+20+\frac{2x^2+1400}{x+10}.$$
Найдём минимум:
$$P'(x)=2+\frac{2\cdot 2x(x+10)-(2x^2+1400)}{(x+10)^2}.$$
Приравниваем к нулю:
$$2+\frac{4x(x+10)-2x^2-1400}{(x+10)^2}=0,$$
$$2(x+10)^2+4x(x+10)-2x^2-1400=0,$$
$$4x^2+80x-1200=0,$$
$$x^2+20x-300=0.$$
$$D=20^2+4\cdot 300=1600,$$
$$x_1=\frac{-20-40}{2}=-30,\quad x_2=\frac{-20+40}{2}=10.$$
Так как $$x>0$$, получаем $$x=10$$.
Тогда
$$P_{\min}=2\cdot 10+20+\frac{2\cdot 10^2+1400}{10+10}=40+\frac{1600}{20}=120.$$
Найдем неопределенные интегралы:
$$\int 1\,dx=x+C,$$
$$\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C,$$
$$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C,$$
$$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C,$$
$$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,$$
$$\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C.$$
Ответ
а) $$34$$; б) $$120$$; $$\int 1\,dx=x+C$$, $$\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C$$, $$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C$$, $$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C$$, $$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$$, $$\int \sqrt{x}\,dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C$$.
