Упр.20.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- а) От прямоугольника отрезают угловой квадрат, сторона которого составляет четверть меньшей стороны прямоугольника. Площадь полученного шестиугольника должна быть равна $$68$$. Найдите наименьший периметр такого шестиугольника.
б) От прямоугольника отрезают угловой квадрат, сторона которого на $$10$$ меньше меньшей стороны прямоугольника. Площадь полученного шестиугольника должна быть равна $$700$$. Найдите наименьший периметр такого шестиугольника. - Найдите неопределённый интеграл:
а) $$\int 1\,dx$$;
б) $$\int x\,dx$$;
в) $$\int x^2\,dx$$;
г) $$\int x^3\,dx$$;
д) $$\int \frac{1}{x}\,dx$$;
е) $$\int \sqrt{x}\,dx$$.
а) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, а сторона отрезанного квадрата — $$x$$. По условию $$x=\frac14a$$, значит $$a=4x$$.
Площадь оставшейся фигуры:
$$ab-x^2=68.$$
Подставим $$a=4x$$:
$$4xb-x^2=68,$$
$$b=\frac{68+x^2}{4x}.$$
Периметр фигуры:
$$P=2a+2b=8x+\frac{68+x^2}{2x}.$$
Найдём минимум функции:
$$P'(x)=8+\frac{2x^2-(68+x^2)}{2x^2}=8+\frac{x^2-68}{2x^2}.$$
Приравниваем к нулю:
$$8+\frac{x^2-68}{2x^2}=0,$$
$$16x^2+x^2-68=0,$$
$$17x^2=68,$$
$$x^2=4,\quad x=2.$$
Тогда
$$P_{\min}=8\cdot 2+\frac{68+2^2}{2\cdot 2}=16+\frac{72}{4}=34.$$
б) Пусть сторона квадрата равна $$x$$, тогда меньшая сторона прямоугольника равна $$a=x+10$$.
По условию:
$$ab-x^2=700.$$
Следовательно,
$$(x+10)b-x^2=700,$$
$$b=\frac{x^2+700}{x+10}.$$
Периметр фигуры:
$$P=2a+2b=2x+20+\frac{2x^2+1400}{x+10}.$$
Найдём минимум:
$$P'(x)=2+\frac{2\cdot 2x(x+10)-(2x^2+1400)}{(x+10)^2}.$$
Приравниваем к нулю:
$$2+\frac{4x(x+10)-2x^2-1400}{(x+10)^2}=0,$$
$$2(x+10)^2+4x(x+10)-2x^2-1400=0,$$
$$4x^2+80x-1200=0,$$
$$x^2+20x-300=0.$$
$$D=20^2+4\cdot 300=1600,$$
$$x_1=\frac{-20-40}{2}=-30,\quad x_2=\frac{-20+40}{2}=10.$$
Так как $$x>0$$, получаем $$x=10$$.
Тогда
$$P_{\min}=2\cdot 10+20+\frac{2\cdot 10^2+1400}{10+10}=40+\frac{1600}{20}=120.$$
Найдем неопределенные интегралы:
$$\int 1\,dx=x+C,$$
$$\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C,$$
$$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C,$$
$$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C,$$
$$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,$$
$$\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C.$$
Ответ
а) $$34$$; б) $$120$$; $$\int 1\,dx=x+C$$, $$\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C$$, $$\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C$$, $$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C$$, $$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$$, $$\int \sqrt{x}\,dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C$$.
