Упр.20.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) основания трапеции равны 8 см и 24 см, а высота равна 12 см;
б) основания трапеции равны 6 см и 8 см, а высота равна 10 см? Для указанной функции y=f(x) найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку P:
а) y=2cos(x), P(-?/6; -2); г) y=v2sin(x), P(?/4; 1);
б) y=-1/sin^2(x), P(-?/4; 0); д) y=v3/cos^2(x), P(?/3; -1);
в) y=1-2sin^2(x/2), P(?/2; 3); е) y=4sin(x/2)cos(x/2), P(2?/3; -3).
а) Пусть $x$ — длина основания вырезаемого прямоугольника, прилежащего к меньшему основанию трапеции. Тогда
$$S(x)=12x,\quad x\le 8.$$
Если $x>8$, то высота прямоугольника уменьшается линейно, и
$$S(x)=\frac{12x(24-x)}{24-8}=\frac{3x(24-x)}{4}.$$
На участке $x\le 8$ максимум достигается при $x=8$:
$$S_{\max}=12\cdot 8=96.$$
На участке $x>8$ имеем
$$S(x)=\frac{3x(24-x)}{4},$$
это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина соответствует
$$x=\frac{24}{2}=12.$$
Тогда
$$S_{\max}=S(12)=\frac{3\cdot 12\cdot (24-12)}{4}=108.$$
Ответ: $108\ \text{см}^2$.
б) Пусть $x$ — длина прямоугольника. Тогда
$$S(x)=10x,\quad x\le 6.$$
Если $x>6$, то
$$S(x)=\frac{10x(8-x)}{8-6}=5x(8-x).$$
На участке $x\le 6$ максимум достигается при $x=6$:
$$S_{\max}=10\cdot 6=60.$$
На участке $x>6$ функция
$$S(x)=5x(8-x)$$
имеет вершину при
$$x=\frac{8}{2}=4,$$
но это значение не принадлежит области $x>6$, значит на этом участке максимум достигается на границе при $x=6$.
Следовательно,
$$S_{\max}=60.$$
Ответ: $60\ \text{см}^2$.
а) $$y=2\cos x.$$
Первообразная:
$$F(x)=2\sin x+C.$$
Подставим точку $P\left(-\frac{\pi}{6};-2\right)$:
$$-2=2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)+C=-1+C,$$
откуда $C=-1$.
$$F(x)=2\sin x-1.$$
б) $$y=-\frac{1}{\sin^2 x}.$$
Первообразная:
$$F(x)=\ctg x+C.$$
Подставим точку $P\left(-\frac{\pi}{4};0\right)$:
$$0=\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)+C=-1+C,$$
откуда $C=1$.
$$F(x)=\ctg x+1.$$
в) $$y=1-2\sin^2\frac{x}{2}.$$
Используем формулу:
$$1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos x.$$
Тогда
$$F(x)=\sin x+C.$$
Подставим точку $P\left(\frac{\pi}{2};3\right)$:
$$3=\sin\frac{\pi}{2}+C=1+C,$$
откуда $C=2$.
$$F(x)=\sin x+2.$$
г) $$y=\sqrt{2}\sin x.$$
Первообразная:
$$F(x)=-\sqrt{2}\cos x+C.$$
Подставим точку $P\left(\frac{\pi}{4};1\right)$:
$$1=-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}+C=-1+C,$$
откуда $C=2$.
$$F(x)=-\sqrt{2}\cos x+2.$$
д) $$y=\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}.$$
Первообразная:
$$F(x)=\sqrt{3}\tg x+C.$$
Подставим точку $P\left(\frac{\pi}{3};-1\right)$:
$$-1=\sqrt{3}\tg\frac{\pi}{3}+C=3+C,$$
откуда $C=-4$.
$$F(x)=\sqrt{3}\tg x-4.$$
е) $$y=4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$
Используем формулу:
$$4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2\sin x.$$
Тогда
$$F(x)=-2\cos x+C.$$
Подставим точку $P\left(\frac{2\pi}{3};-3\right)$:
$$-3=-2\cos\frac{2\pi}{3}+C=1+C,$$
откуда $C=-4$.
$$F(x)=-2\cos x-4.$$
Ответ
а) $108\ \text{см}^2$; б) $60\ \text{см}^2$; а) $2\sin x-1$; б) $\ctg x+1$; в) $\sin x+2$; г) $-\sqrt{2}\cos x+2$; д) $\sqrt{3}\tg x-4$; е) $-2\cos x-4$.
