Упр.20.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Из прямоугольной трапеции надо вырезать прямоугольник наибольшей площади, у которого один из прямых углов совпадает с прямым углом трапеции. Чему равна эта площадь, если: а) основания трапеции равны $$8\text{ см}$$ и $$24\text{ см}$$, а высота равна $$12\text{ см}$$; б) основания трапеции равны $$6\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$, а высота равна $$10\text{ см}$$?
- Для указанной функции $$y=f(x)$$ найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку $$P$$: а) $$y=2\cos(x)$$, $$P\left(-\frac{\pi}{6};-2\right)$$; б) $$y=-\frac{1}{\sin^2(x)}$$, $$P\left(-\frac{\pi}{4};0\right)$$; в) $$y=1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$$, $$P\left(\frac{\pi}{2};3\right)$$; г) $$y=\sqrt{2}\sin(x)$$, $$P\left(\frac{\pi}{4};1\right)$$; д) $$y=\frac{\sqrt{3}}{\cos^2(x)}$$, $$P\left(\frac{\pi}{3};-1\right)$$; е) $$y=4\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$, $$P\left(\frac{2\pi}{3};-3\right)$$.
а) Пусть $$x$$ — длина основания вырезаемого прямоугольника, прилежащего к меньшему основанию трапеции. Тогда
$$S(x)=12x,\quad x\le 8.$$
Если $$x>8$$, то высота прямоугольника уменьшается линейно, и
$$S(x)=\frac{12x(24-x)}{24-8}=\frac{3x(24-x)}{4}.$$
На участке $$x\le 8$$ максимум достигается при $$x=8$$:
$$S_{\max}=12\cdot 8=96.$$
На участке $$x>8$$ имеем
$$S(x)=\frac{3x(24-x)}{4},$$
это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина соответствует
$$x=\frac{24}{2}=12.$$
Тогда
$$S_{\max}=S(12)=\frac{3\cdot 12\cdot (24-12)}{4}=108.$$
Ответ: $$108\ \text{см}^2$$.
б) Пусть $$x$$ — длина прямоугольника. Тогда
$$S(x)=10x,\quad x\le 6.$$
Если $$x>6$$, то
$$S(x)=\frac{10x(8-x)}{8-6}=5x(8-x).$$
На участке $$x\le 6$$ максимум достигается при $$x=6$$:
$$S_{\max}=10\cdot 6=60.$$
На участке $$x>6$$ функция
$$S(x)=5x(8-x)$$
имеет вершину при
$$x=\frac{8}{2}=4,$$
но это значение не принадлежит области $$x>6$$, значит на этом участке максимум достигается на границе при $$x=6$$.
Следовательно,
$$S_{\max}=60.$$
Ответ: $$60\ \text{см}^2$$.
а) $$y=2\cos x.$$
Первообразная:
$$F(x)=2\sin x+C.$$
Подставим точку $$P\left(-\frac{\pi}{6};-2\right)$$:
$$-2=2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)+C=-1+C,$$
откуда $$C=-1$$.
$$F(x)=2\sin x-1.$$
б) $$y=-\frac{1}{\sin^2 x}.$$
Первообразная:
$$F(x)=\ctg x+C.$$
Подставим точку $$P\left(-\frac{\pi}{4};0\right)$$:
$$0=\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)+C=-1+C,$$
откуда $$C=1$$.
$$F(x)=\ctg x+1.$$
в) $$y=1-2\sin^2\frac{x}{2}.$$
Используем формулу:
$$1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos x.$$
Тогда
$$F(x)=\sin x+C.$$
Подставим точку $$P\left(\frac{\pi}{2};3\right)$$:
$$3=\sin\frac{\pi}{2}+C=1+C,$$
откуда $$C=2$$.
$$F(x)=\sin x+2.$$
г) $$y=\sqrt{2}\sin x.$$
Первообразная:
$$F(x)=-\sqrt{2}\cos x+C.$$
Подставим точку $$P\left(\frac{\pi}{4};1\right)$$:
$$1=-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}+C=-1+C,$$
откуда $$C=2$$.
$$F(x)=-\sqrt{2}\cos x+2.$$
д) $$y=\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 x}.$$
Первообразная:
$$F(x)=\sqrt{3}\tg x+C.$$
Подставим точку $$P\left(\frac{\pi}{3};-1\right)$$:
$$-1=\sqrt{3}\tg\frac{\pi}{3}+C=3+C,$$
откуда $$C=-4$$.
$$F(x)=\sqrt{3}\tg x-4.$$
е) $$y=4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$
Используем формулу:
$$4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2\sin x.$$
Тогда
$$F(x)=-2\cos x+C.$$
Подставим точку $$P\left(\frac{2\pi}{3};-3\right)$$:
$$-3=-2\cos\frac{2\pi}{3}+C=1+C,$$
откуда $$C=-4$$.
$$F(x)=-2\cos x-4.$$
Ответ
а) $$108\ \text{см}^2$$; б) $$60\ \text{см}^2$$; а) $$2\sin x-1$$; б) $$\ctg x+1$$; в) $$\sin x+2$$; г) $$-\sqrt{2}\cos x+2$$; д) $$\sqrt{3}\tg x-4$$; е) $$-2\cos x-4$$.
