Упр.20.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите такое положительное число, что разность между ним и его утроенным кубом является наибольшей. Приведите пример хотя бы одной функции y=f(x), если известна её производная:
а) f'(x)=sin(x); г) f'(x)=1/vx;
б) f'(x)=-cos(x); д) f'(x)=2x+1;
в) f'(x)=-1/x^2; е) f'(x)=3x^2-x.

а) Пусть $$x$$ — данное число. Тогда разность между числом и его квадратом равна

$$D(x)=x-x^2.$$

Найдём производную:

$$D'(x)=1-2x.$$

Критическая точка:

$$1-2x=0 \Rightarrow x=\frac12.$$

Так как парабола $$D(x)=x-x^2$$ ветвями вниз, в точке $$x=\frac12$$ достигается максимум.

б) Пусть $$x>0$$ — данное число. Тогда разность между числом и его утроенным кубом равна

$$D(x)=x-3x^3.$$

Найдём производную:

$$D'(x)=1-9x^2.$$

Критические точки:

$$1-9x^2=0 \Rightarrow 9x^2=1 \Rightarrow x=\pm \frac13.$$

С учётом условия $$x>0$$ получаем $$x=\frac13$$. Это и есть точка максимума.

Примеры функций, если известна производная:

1. $$f'(x)=\sin x,\quad f(x)=-\cos x.$$
2. $$f'(x)=-\cos x,\quad f(x)=-\sin x.$$
3. $$f'(x)=-\frac{1}{x^2},\quad f(x)=\frac{1}{x}.$$
4. $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\quad f(x)=2\sqrt{x}.$$
5. $$f'(x)=2x+1,\quad f(x)=x^2+x.$$
6. $$f'(x)=3x^2-x,\quad f(x)=x^3-\frac12x^2.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac13$$.

Примеры функций: $$-\cos x,\ -\sin x,\ \frac1x,\ 2\sqrt{x},\ x^2+x,\ x^3-\frac12x^2.$$