Упр.2.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 25 + 5 + 1 + 1/5 + …;
б) -18 + 6 — 2 + 2/3 — …;
в) sin(?/6) + sin^2(?/6) + sin^3(?/6) + … + sin^n(?/6) + …;
г) 2 + v2 + 1 + 1/v2 + …;
д) 36 — 18 + 9 — 4,5 + …;
е) cos(?/3) — cos^2(?/3) + cos^3(?/3) — … + (-1)^(n+1) cos^n(?/3) + … . Найдите сумму:
а) sin(?/6)+sin^2(?/6)+sin^3(?/6)+…+sin^n(?/6)+…;
б) cos(?/3)-cos^2(?/3)+cos^3(?/3)-…+(-1)^(n+1)cos^n(?/3)+… .

1. Для бесконечной геометрической прогрессии используем формулу суммы:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

2. а) $$25+5+1+\frac15+\dots$$

   $$b_1=25,\quad q=\frac{5}{25}=\frac15.$$

   $$S=\frac{25}{1-\frac15}=\frac{25}{\frac45}=\frac{125}{4}=31{,}25.$$

3. б) $$-18+6-2+\frac23-\dots$$

   $$b_1=-18,\quad q=\frac{6}{-18}=-\frac13.$$

   $$S=\frac{-18}{1-(-\frac13)}=\frac{-18}{1+\frac13}=\frac{-18}{\frac43}=-\frac{27}{2}=-13{,}5.$$

4. в) $$\sin\frac{\pi}{6}+\sin^2\frac{\pi}{6}+\sin^3\frac{\pi}{6}+\dots$$

   $$b_1=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\quad q=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$

   $$S=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1.$$

5. г) $$2+\sqrt2+1+\frac{1}{\sqrt2}+\dots$$

   $$b_1=2,\quad q=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   $$S=\frac{2}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{4}{2-\sqrt2}=\frac{4(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}=4+2\sqrt2.$$

6. д) $$36-18+9-4{,}5+\dots$$

   $$b_1=36,\quad q=\frac{-18}{36}=-\frac12.$$

   $$S=\frac{36}{1-(-\frac12)}=\frac{36}{\frac32}=24.$$

7. е) $$\cos\frac{\pi}{3}-\cos^2\frac{\pi}{3}+\cos^3\frac{\pi}{3}-\dots$$

   $$b_1=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\quad q=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12.$$

   $$S=\frac{\frac12}{1-(-\frac12)}=\frac{\frac12}{\frac32}=\frac13.$$

Ответ

а) $$31{,}25$$; б) $$-13{,}5$$; в) $$1$$; г) $$4+2\sqrt2$$; д) $$24$$; е) $$\frac13$$.