Упр.2.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
   а) $$25+5+1+\frac{1}{5}+\ldots$$;
   б) $$-18+6-2+\frac{2}{3}-\ldots$$;
   в) $$\sin\frac{\pi}{6}+\sin^2\frac{\pi}{6}+\sin^3\frac{\pi}{6}+\ldots+\sin^n\frac{\pi}{6}+\ldots$$;
   г) $$2+\sqrt{2}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots$$;
   д) $$36-18+9-4{,}5+\ldots$$;
   е) $$\cos\frac{\pi}{3}-\cos^2\frac{\pi}{3}+\cos^3\frac{\pi}{3}-\ldots+(-1)^{n+1}\cos^n\frac{\pi}{3}+\ldots$$.

1. Для бесконечной геометрической прогрессии используем формулу суммы:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

2. а) $$25+5+1+\frac15+\dots$$

   $$b_1=25,\quad q=\frac{5}{25}=\frac15.$$

   $$S=\frac{25}{1-\frac15}=\frac{25}{\frac45}=\frac{125}{4}=31{,}25.$$

3. б) $$-18+6-2+\frac23-\dots$$

   $$b_1=-18,\quad q=\frac{6}{-18}=-\frac13.$$

   $$S=\frac{-18}{1-(-\frac13)}=\frac{-18}{1+\frac13}=\frac{-18}{\frac43}=-\frac{27}{2}=-13{,}5.$$

4. в) $$\sin\frac{\pi}{6}+\sin^2\frac{\pi}{6}+\sin^3\frac{\pi}{6}+\dots$$

   $$b_1=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\quad q=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$

   $$S=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1.$$

5. г) $$2+\sqrt2+1+\frac{1}{\sqrt2}+\dots$$

   $$b_1=2,\quad q=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   $$S=\frac{2}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{4}{2-\sqrt2}=\frac{4(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}=4+2\sqrt2.$$

6. д) $$36-18+9-4{,}5+\dots$$

   $$b_1=36,\quad q=\frac{-18}{36}=-\frac12.$$

   $$S=\frac{36}{1-(-\frac12)}=\frac{36}{\frac32}=24.$$

7. е) $$\cos\frac{\pi}{3}-\cos^2\frac{\pi}{3}+\cos^3\frac{\pi}{3}-\dots$$

   $$b_1=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\quad q=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12.$$

   $$S=\frac{\frac12}{1-(-\frac12)}=\frac{\frac12}{\frac32}=\frac13.$$

Ответ

а) $$31{,}25$$; б) $$-13{,}5$$; в) $$1$$; г) $$4+2\sqrt2$$; д) $$24$$; е) $$\frac13$$.