Упр.2.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 0,8, а сумма квадратов первых двух членов этой прогрессии равна 5/16. Чему равен знаменатель этой прогрессии?

а) Для бесконечной геометрической прогрессии

$$S=\frac{b_1}{1-q}=2,$$

откуда

$$b_1=2(1-q).$$

Сумма первых трёх членов:

$$S_3=\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}=1{,}75.$$

Подставим $b_1=2(1-q)$:

$$\frac{2(1-q)(1-q^3)}{1-q}=1{,}75,$$

$$2(1-q^3)=1{,}75,$$

$$1-q^3=0{,}875,$$

$$q^3=0{,}125,$$

$$q=0{,}5.$$

Тогда

$$b_1=2(1-0{,}5)=1.$$

б) Пусть сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $0{,}8$:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=0{,}8,$$

значит

$$b_1=0{,}8(1-q).$$

По условию сумма квадратов первых двух членов равна $\frac{5}{16}$:

$$b_1^2+b_2^2=\frac{5}{16},$$

где $b_2=b_1q$. Тогда

$$b_1^2(1+q^2)=\frac{5}{16}.$$

Подставим $b_1=0{,}8(1-q)$:

$$0{,}64(1-q)^2(1+q^2)=\frac{5}{16}.$$

Упростим:

$$\frac{16}{25}(1-q)^2(1+q^2)=\frac{5}{16}.$$

После преобразований получаем квадратное уравнение

$$q^2-2q+\frac{39}{64}=0.$$

Тогда

$$D=4-4\cdot\frac{39}{64}=\frac{25}{16},$$

$$q_{1,2}=\frac{2\pm\frac{5}{4}}{2}.$$

Отсюда

$$q_1=\frac{13}{8}, \quad q_2=\frac{3}{8}.$$

Так как для бесконечной геометрической прогрессии должно быть $|q|<1$, подходит только

$$q=\frac{3}{8}.$$

Ответ

а) $1$; б) $\frac{3}{8}$.